统计代写| Geometric and Negative Binomial stat代写
统计代考
4.3 Geometric and Negative Binomial
We now introduce two more famous discrete distributions, the Geometric and Negative Binomial, and calculate their expected values.
Story 4.3.1 (Geometric distribution). Consider a sequence of independent Bernoulli trials, each with the same success probability $p \in(0,1)$, with trials performed until a success occurs. Let $X$ be the number of failures before the first successful trial. Then $X$ has the Geometric distribution with parameter $p ;$ we denote this by $X \sim \operatorname{Geom}(p)$.
For example, if we flip a fair coin until it lands Heads for the first time, then the number of Tails before the first occurrence of Heads is distributed as Geom(1/2).
To get the Geometric PMF from the story, imagine the Bernoulli trials as a string of 0 ‘s (failures) ending in a single 1 (success). Each 0 has probability $q=1-p$ and the final 1 has probability $p$, so a string of $k$ failures followed by one success has probability $q^{k} p$.
Theorem 4.3.2 (Geometric PMF). If $X \sim \operatorname{Geom}(p)$, then the PMF of $X$ is
$$
P(X=k)=q^{k} p
$$
for $k=0,1,2, \ldots$, where $q=1-p$.
for a review of geometric series), we have the first $n+1$ trials were failures:
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4.3 几何和负二项式
我们现在介绍两个比较著名的离散分布，几何分布和负二项分布，并计算它们的期望值。
故事 4.3.1（几何分布）。考虑一系列独立的伯努利试验，每个试验都具有相同的成功概率 $p \in(0,1)$，试验一直进行到成功为止。令 $X$ 为第一次成功试验之前的失败次数。然后$X$ 具有参数$p 的几何分布；$ 我们用$X \sim \operatorname{Geom}(p)$ 表示。
例如，如果我们抛一个公平的硬币直到它第一次出现正面，那么在第一次出现正面之前的尾部数量分布为 Geom(1/2)。
要从故事中获取几何 PMF，请将伯努利试验想象为以单个 1（成功）结尾的一串 0（失败）。每个 0 的概率为 $q=1-p$，而最后的 1 的概率为 $p$，因此一串 $k$ 的失败后跟一个成功的概率为 $q^{k} p$。
定理 4.3.2（几何 PMF）。如果 $X \sim \operatorname{Geom}(p)$，那么 $X$ 的 PMF 是
$$
P(X=k)=q^{k} p
$$
对于 $k=0,1,2，\ldots$，其中 $q=1-p$。
对于几何级数的回顾），我们有第一个 $n+1$ 试验是失败的：
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