物理代考|Perturbation Theory 量子力学代写
物理代写
3.7 Perturbation Theory
Suppose the hamiltonian has an additional small piece $\delta V(x)$, which makes the Schrödinger equation difficult to solve analytically
We return to Eq. (3.6) $$ \mid E=\frac{\int d x \psi^{}(x) H \psi(x)}{\int d x|\psi(x)|^{2}}=\frac{\int d x \psi^{}(x)\left[H_{0}+\delta V(x)\right] \psi(x)}{\int d x|\psi(x)|^{2}} $$
Let us use the eigenfunction $\psi_{n}(x)$ of $H_{0}$ in this expression to obtain $$ E_{n}=E_{n}^{0}+\frac{\int d x \psi_{n}^{}(x)[\delta V(x)] \psi_{n}(x)}{\int d x\left|\psi_{n}(x)\right|^{2}} $$ the eigenvalue $$ \delta E_{n}=\frac{\int d x \psi_{n}^{}(x)[\delta V(x)] \psi_{n}(x)}{\int d x\left|\psi_{n}(x)\right|^{2}} \quad ; \text { perturbation theory }(3.46)
$$
The small shift in the eigenvalue is the integral of the perturbation over the eigenfunction.
Include Potential $V(x)$
As an example, suppose that with the particle in the box in Fig. $3.1$ there is a small, narrow potential step at the midpoint
$$
\delta V(x)=\nu_{0} \quad ;\left|x-\frac{L}{2}\right|<l
$$
23
where $l \ll L$. The eigenfunctions are $\sqrt{2 / L} \sin (n \pi x / L)$. For odd $n$, the magnitude of the sine is unity at the midpoint where $x=L / 2$. For even $n$, it vanishes there. ${ }^{4}$ Hence, for $l \ll L$, one has
$$
\begin{aligned}
\delta E_{n} &=4 \nu_{0} \frac{l}{L} & & ; n=1,3,5, \cdots \
&=0 & & ; n=2,4,6, \cdots
\end{aligned}
$$
3.7.1 Non-Degenerate Perturbation Theory
Let us make the analysis more general. We want to solve for the eigenfunctions and eigenvalues in the Schrödinger equation
$H \psi(x)=\left[H_{0}+\delta V(x)\right] \psi(x)=E \psi(x)$
$$ \psi(x)=\sum_{m} c_{m} \psi_{m}(x) $$ $$ H_{0} \psi_{m}(x)=E_{m}^{0} \psi_{m}(x) $$ Substitute this in the above equation $$ \sum_{m}\left(E-E_{m}^{0}\right) c_{m} \psi_{m}(x)=\delta V(x) \psi(x) $$ Now multiply by $\psi_{n}^{}(x)$ on the left, integrate over $x$, and me now the eigenfunctions $$ c_{n}=\frac{1}{E-E_{n}^{0}} \int d x \psi_{n}^{}(x) \delta V(x) \psi(x) $$
Let us discuss this:
- This choice is for a given $n$;
4 See Figs. $3.2$ and $3.3 .$
物理代考
3.7 微扰理论
假设hamiltonian有一个额外的小块$\delta V(x)$，这使得薛定谔方程难以解析求解
我们回到方程式。 (3.6) $$ \mid E=\frac{\int dx \psi^{}(x) H \psi(x)}{\int dx|\psi(x)|^{2}}=\frac {\int dx \psi^{}(x)\left[H_{0}+\delta V(x)\right] \psi(x)}{\int dx|\psi(x)|^{2 }} $$
让我们利用这个表达式中$H_{0}$的特征函数$\psi_{n}(x)$得到$$ E_{n}=E_{n}^{0}+\frac{\int dx \ psi_{n}^{}(x)[\delta V(x)] \psi_{n}(x)}{\int dx\left|\psi_{n}(x)\right|^{2} } $$ 特征值 $$ \delta E_{n}=\frac{\int dx \psi_{n}^{}(x)[\delta V(x)] \psi_{n}(x)}{\int dx\left|\ psi_{n}(x)\right|^{2}} \quad ; \text { 微扰理论 }(3.46)
$$
特征值的微小偏移是特征函数上扰动的积分。
包括潜在的$V(x)$
举个例子，假设图 $3.1$ 方框中的粒子在中点有一个小而窄的势阶
$$
\delta V(x)=\nu_{0} \quad ;\left|x-\frac{L}{2}\right|<l
$$
23
其中$l \ll L$。特征函数是 $\sqrt{2 / L} \sin (n \pi x / L)$。对于奇数 $n$，正弦的大小在 $x=L / 2$ 的中点处是统一的。即使是 $n$，它也会消失在那里。 ${ }^{4}$ 因此，对于 $l \ll L$，有
$$
\开始{对齐}
\delta E_{n} &=4 \nu_{0} \frac{l}{L} & & ; n=1,3,5, \cdots \
&=0 & & ; n=2,4,6, \cdots
\end{对齐}
$$
3.7.1 非退化微扰理论
让我们使分析更笼统。我们要求解薛定谔方程中的特征函数和特征值
$H \psi(x)=\left[H_{0}+\delta V(x)\right] \psi(x)=E \psi(x)$
$$ \psi(x)=\sum_{m} c_{m} \psi_{m}(x) $$ $$ H_{0} \psi_{m}(x)=E_{m}^{0} \psi_{m}(x) $$ 代入上式 $$ \sum_{m}\left(E-E_{m}^{0}\right) c_{m} \psi_{m}(x )=\delta V(x) \psi(x) $$ 现在乘以左边的 $\psi_{n}^{}(x)$，积分超过 $x$，我现在得到特征函数 $$ c_ {n}=\frac{1}{E-E_{n}^{0}} \int dx \psi_{n}^{}(x) \delta V(x) \psi(x) $$
让我们讨论一下：
- 此选择适用于给定的 $n$；
4 见图。 3.2 美元和 3.3 美元 .$
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光学（Optics），是物理学的分支，主要是研究光的现象、性质与应用，包括光与物质之间的相互作用、光学仪器的制作。光学通常研究红外线、紫外线及可见光的物理行为。因为光是电磁波，其它形式的电磁辐射，例如X射线、微波、电磁辐射及无线电波等等也具有类似光的特性。
大多数常见的光学现象都可以用经典电动力学理论来说明。但是，通常这全套理论很难实际应用，必需先假定简单模型。几何光学的模型最为容易使用。
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上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
