物理代考| Two-State Mixing 量子力学代写
物理代写
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5.7 Two-State Mixing
So far in looking at transition rates we have worked to leading order in $H^{\prime}$. We now simplify the problem enough so that we can treat $H^{\prime}$ exactly. We still seek separated solutions to the Schrödinger equation as in Eqs. (2.18)$(2.22)$, so that we have
The eigenfunction $\psi(x)$ can be expanded in the complete set of solutions to the unperturbed problem
$$
\begin{aligned}
&\psi(x)=\sum_{n} a_{n} \psi_{n}(x) \
&H_{0} \psi_{n}(x)=E_{n}^{0} \psi_{n}(x) \
&\text { value equation, and the use of the } \
&\text { ), gives } \
&\left.-E) \delta_{n, n^{\prime}}+\left\langle n\left|H^{\prime}\right| n^{\prime}\right\rangle\right] a_{n^{\prime}}=0
\end{aligned}
$$
Substitution into the eigenvalue equation, and the use of the orthonormality of the eigenfunctions $\psi_{n}(x)$, gives
Transition Rate
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This relation is still exact, and there is one equation for each $n$. We are thus faced with an infinite set of coupled algebraic equations for the amplitudes $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots\right)$; however, we now make some simplifying assumptions:
- We assume that it is only the mixing of a pair of states $\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)$ that is important for us;
- We assume that the pair is degenerate, with energy $E_{0} ;^{6}$
- We assume that the diagonal elements of $H^{\prime}$ vanish.
- We assume the off-diagonal elements of $H^{\prime}$ are real, with $H_{12}^{\prime}=H_{21^{\prime}}^{\prime}$
The above equations then reduce to the following simple pair of equations
$$
\begin{aligned}
&\left(E_{0}-E\right) a_{1}+H_{12}^{\prime} a_{2}=0 \
&H_{12}^{\prime} a_{1}+\left(E_{0}-E\right) a_{2}=0
\end{aligned}
$$
This is a pair of linear, homogeneous, algebraic equations for the amplitudes $\left(a_{1}, a_{2}\right)$. These equations will only have a non-trivial solution if the determinant of the coefficients of $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ vanishes. Hence
$$
\left(E_{0}-E\right)^{2}-\left(H_{12}^{\prime}\right)^{2}=0
$$
It follows that the eigenvalues and corresponding (normalized) eigenfunctions are
$$
\begin{array}{ll}
E_{+}=E_{0}+H_{12}^{\prime} & ; \psi_{+}(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}(x)+\psi_{2}(x)\right] \
E_{-}=E_{0}-H_{12}^{\prime} & ; \psi_{-}(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}(x)-\psi_{2}(x)\right]
\end{array}
$$
The general solution to the two-level problem is then obtained as the linear combination of the separated solutions
$$
\Psi(x, t)=c_{+} \psi_{+}(x) e^{-i E_{+} t / \hbar}+c_{-} \psi_{-}(x) e^{-i E_{-} t / \hbar}
$$
Suppose that at the initial time $t=0$ we start in the state $\psi_{1}(x)$, so that
$$
\begin{aligned}
\Psi(x, 0) &=\psi_{1}(x) & & ; \text { initial condition } \
c_{+} &=c_{-}=\frac{1}{\sqrt{2}} & &
\end{aligned}
$$
${ }^{6}$ These could be the pair of first excited states of a particle in the square twodimensional box, for example. [See Eqs. (3.41).]
44
Introduction to Quantum Mechanics
Then at a later time
$$
\begin{aligned}
\Psi(x, t) &=a_{1}(t) \psi_{1}(x)+a_{2}(t) \psi_{2}(x) \
a_{1}(t) &=\frac{1}{2}\left(e^{-i E_{+} t / \hbar}+e^{-i E_{-} t / \hbar}\right) \
a_{2}(t) &=\frac{1}{2}\left(e^{-i E_{+} t / \hbar}-e^{-i E_{-} t / \hbar}\right)
\end{aligned}
$$
The probability of finding the particle in the state $\psi_{1}(x)$ after time $t$ is then
物理代考
5.7 两态混合
到目前为止，在查看转换率时，我们一直致力于 $H^{\prime}$ 的领先顺序。我们现在足够简化问题，以便我们可以准确地处理 $H^{\prime}$。我们仍然寻求薛定谔方程的分离解，如方程。 (2.18)$(2.22)$，所以我们有
特征函数 $\psi(x)$ 可以在未扰动问题的完整解集中展开
$$
\开始{对齐}
&\psi(x)=\sum_{n} a_{n} \psi_{n}(x) \
&H_{0} \psi_{n}(x)=E_{n}^{0} \psi_{n}(x) \
&\text { 值方程，以及 } \ 的使用
&\text { )，给出 } \
&\left.-E) \delta_{n, n^{\prime}}+\left\langle n\left|H^{\prime}\right| n^{\prime}\right\rangle\right] a_{n^{\prime}}=0
\end{对齐}
$$
代入特征值方程，并使用特征函数 $\psi_{n}(x)$ 的正交性，给出
转换率
43
这种关系仍然是精确的，每个 $n$ 都有一个方程。因此，我们面临着幅值 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots\right)$ 的无限耦合代数方程组；但是，我们现在做一些简化的假设：
- 我们假设只有一对状态 $\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)$ 的混合对我们很重要；
- 我们假设这对是退化的，能量为 $E_{0} ;^{6}$
- 我们假设 $H^{\prime}$ 的对角线元素消失。
- 我们假设 $H^{\prime}$ 的非对角元素是实数，其中 $H_{12}^{\prime}=H_{21^{\prime}}^{\prime}$
上述方程然后简化为以下简单的方程组
$$
\开始{对齐}
&\left(E_{0}-E\right) a_{1}+H_{12}^{\prime} a_{2}=0 \
&H_{12}^{\prime} a_{1}+\left(E_{0}-E\right) a_{2}=0
\end{对齐}
$$
这是振幅 $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ 的一对线性齐次代数方程。只有当 $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ 的系数的行列式消失时，这些方程才会有一个非平凡的解。因此
$$
\left(E_{0}-E\right)^{2}-\left(H_{12}^{\prime}\right)^{2}=0
$$
因此，特征值和相应的（归一化的）特征函数是
$$
\开始{数组}{ll}
E_{+}=E_{0}+H_{12}^{\prime} & ; \psi_{+}(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}(x)+\psi_{2}(x)\right] \
E_{-}=E_{0}-H_{12}^{\prime} & ; \psi_{-}(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}(x)-\psi_{2}(x)\right]
\结束{数组}
$$
然后将两级问题的通解作为分离解的线性组合获得
$$
\Psi(x, t)=c_{+} \psi_{+}(x) e^{-i E_{+} t / \hbar}+c_{-} \psi_{-}(x) e^{ -i E_{-} t / \hbar}
$$
假设在初始时间 $t=0$ 我们从状态 $\psi_{1}(x)$ 开始，所以
$$
\开始{对齐}
\Psi(x, 0) &=\psi_{1}(x) & & ; \text { 初始条件 } \
c_{+} &=c_{-}=\frac{1}{\sqrt{2}} & &
\end{对齐}
$$
${ }^{6}$ 例如，这些可能是正方形二维盒子中粒子的一对第一激发态。 [见方程式。 (3.41)。]
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量子力学导论
然后在稍后的时间
$$
\开始{对齐}
\Psi(x, t) &=a_{1}(t) \psi_{1}(x)+a_{2}(t) \psi_{2}(x) \
a_{1}(t) &=\frac{1}{2}\left(e^{-i E_{+} t / \hbar}+e^{-i E_{-} t / \hbar}\正确的） \
a_{2}(t) &=\frac{1}{2}\left(e^{-i E_{+} t / \hbar}-e^{-i E_{-} t / \hbar}\正确的）
\end{对齐}
$$
在时间 $t$ 之后找到处于状态 $\psi_{1}(x)$ 的粒子的概率为
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电磁学代考
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光学代考
光学（Optics），是物理学的分支，主要是研究光的现象、性质与应用，包括光与物质之间的相互作用、光学仪器的制作。光学通常研究红外线、紫外线及可见光的物理行为。因为光是电磁波，其它形式的电磁辐射，例如X射线、微波、电磁辐射及无线电波等等也具有类似光的特性。
大多数常见的光学现象都可以用经典电动力学理论来说明。但是，通常这全套理论很难实际应用，必需先假定简单模型。几何光学的模型最为容易使用。
相对论代考
上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
流体力学代考
流体力学是力学的一个分支。 主要研究在各种力的作用下流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体之间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。
随机过程代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
