数学代写代考| Arithmetic and Geometric Series 离散数学代写 - 代考代写：100%准时可靠您的作业代写专家

An arithmetic series is the sum of the terms in an arithmetic sequence, and geometric sequence is the sum of the terms in a geometric sequence. It is possible t derive a simple formula for the sum of the first $n$ terms in arithmetic and geometri series.
Arithmetic Series
We write the series in two ways: first, the normal left to right addition, and then th reverse, and then we add both series together:
$$
\begin{aligned}
&S n=a+(a+d)+(a+2 d)+(a+3 d)+\cdots+(a+(n-1) d) \
&S n=a+(n-1) d+a+(n-2) d+\cdots++(a+d)+a
\end{aligned}
$$
$S n=a+(a+d)+(a+2 d)+(a+3 d)+\cdots+(a+(n-1) d)$ $S n=a+(n-1) d+a+(n-2) d+\cdots+\quad+(a+d)+a$ $\cdots \cdot \cdots+(2 a+(n-1) d]+\cdots+[2 a+(n-1) d] \quad(n$ times $)$ $2 S n=[2 a+(n-1) d]+[(n-1) d]$ $2 S n=n \times[2 a+(-\cdots$ $2 S n=n \times[2 a+(n-1) d] .$
Therefore, we conclude that (where $r \neq 1$ )
$$
S_{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} .
$$
The case when $r=1$ corresponds to the arithmetic series $a+a+\cdots+a$, an the sum of this series is simply na. The geometric series converges when $|r|<1$ a $r^{n} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \propto$, and so
$$
S_{n} \rightarrow \frac{a}{1-r} \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
Example (Geometric Series)
Find the sum of the first $n$ terms in the following geometric series $1,1 / 2,1 / 4,1 / 8, \ldots$ What is the sum of the series?
Solution
Clearly, $a=1$ and $r=1 / 2$. Therefore, applying the formula, we get

等差数列是等差数列中各项的和，等比数列是等比数列中各项的和。可以推导出算术和几何级数中前 $n$ 项之和的简单公式。
算术系列
我们以两种方式编写系列：首先，正常的从左到右相加，然后反向，然后我们将两个系列相加：
$$
\开始{对齐}
&S n=a+(a+d)+(a+2 d)+(a+3 d)+\cdots+(a+(n-1) d) \
&S n=a+(n-1) d+a+(n-2) d+\cdots++(a+d)+a
\end{对齐}
$$
$S n=a+(a+d)+(a+2 d)+(a+3 d)+\cdots+(a+(n-1) d)$ $S n=a+(n-1) d+a+ (n-2) d+\cdots+\quad+(a+d)+a$ $\cdots \cdot \cdots+(2 a+(n-1) d]+\cdots+[2 a+(n-1) d] \quad (n$ 次 $)$ $2 S n=[2 a+(n-1) d]+[(n-1) d]$ $2 S n=n \times[2 a+(-\cdots$ $2 S n= n \times[2 a+(n-1) d] .$
因此，我们得出结论（其中 $r \neq 1$ ）
$$
S_{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1- r} 。
$$
$r=1$ 对应算术级数$a+a+\cdots+a$ 的情况，这个级数的和就是na。当 $|r|<1$ a $r^{n} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \propto$ 时，几何级数收敛，依此类推
$$
S_{n} \rightarrow \frac{a}{1-r} \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
示例（几何系列）
求下列几何级数 $1,1 / 2,1 / 4,1 / 8 中前 $n$ 项的和，\ldots$ 系列的和是多少？
解决方案
显然，$a=1$ 和 $r=1 / 2$。因此，应用公式，我们得到

图论代考

数学中使用的一些函数（或对象）（例如斐波那契数列）是
难以明确定义，最好由递归关系定义：即
递归定义一系列值的方程，一旦一个或多个初始值
值被定义。递归可用于定义函数、序列和
套。
递归定义有两个部分，即基本情况和
递归（归纳）步骤。基本情况通常定义函数的值
$n=0$ 或 $n=1$，而递归步骤指定如何应用
一个数的函数可以从其应用到一个或多个更小的函数中获得
数字。重要的是要注意递归定义，以确保它
不是循环的，也不会导致无限回归。函数的参数
递归步骤中定义的右侧通常小于
左侧的参数以确保终止（有一些不寻常的
递归定义的函数，例如 McCarthy 91 函数，其中 this 不是
案子）。当出现递归定义时，很自然地会问它是否意味着
任何东西，在某些情况下答案是否定的。不动点理论
为递归提供数学基础，并确保
功能/对象定义明确。
第 12 章（第 12.6 节）讨论了各种数学结构，例如偏
阶、完全偏阶和格，可用于给出
为递归奠定坚实的基础。给出了精确的数学含义
根据域和不动点理论递归定义的函数，它是
重要的是可以使用递归的条件
更多详细信息请参阅 [1]。
递归定义将包括至少一个非递归分支，每个递归分支都发生在与原始分支不同的上下文中，并带来
它更接近非递归情况。递归定义是一种强大而优雅的
给出语言结构的指称语义的方法。
接下来，我们给出阶乘函数 $\mathrm{~ N e x t i v i n g ~ d e n t i o n t}$ 的递归定义的例子
和斐波那契数。
例 4.4（函数的递归定义）阶乘函数 $n !$ 非常
在数学中很常见，其著名的定义是 $n !=$
$n(n-1)(n-2) \ldots 3.2 .1$ 和 $0 !=1$。根据基本情况的正式定义
归纳步骤如下：
$\begin{array}{ll}\text { 基本步骤 } & \text { fac }(0)=1 \ \text { 递归步骤 } & \text { fac }(n)=n * \operatorname{fac }(n-1)\end{数组}$
数学中使用的一些函数（或对象）（例如斐波那契数列）是
难以明确定义，最好由递归关系定义：即
递归定义一系列值的方程，一旦一个或多个初始值
值被定义。递归可用于定义函数、序列和
套。
递归定义有两个部分，即基本情况和
递归（归纳）步骤。基本情况通常定义函数的值
$n=0$ 或 $n=1$，而递归步骤指定如何应用
一个数的函数可以从其应用到一个或多个更小的函数中获得
数字。
重要的是要注意递归定义，以确保它
不是循环的，也不会导致无限回归。函数的参数
递归步骤中定义的右侧通常小于
左侧的参数以确保终止（有一些不寻常的
递归定义的函数，例如 $M c$ Carthy 91 函数，其中 this 不是
案子）。
当出现递归定义时，很自然地会问它是否意味着
任何东西，在某些情况下答案是否定的。不动点理论
为递归提供数学基础，并确保
功能/对象定义明确。
第 12 章（Sect. $12.6$）讨论了各种数学结构，例如偏
阶、完全偏阶和格，可用于给出
为递归奠定坚实的基础。给出了精确的数学含义
根据域和不动点理论递归定义的函数，它是
理解可以安全使用递归的条件至关重要。
$\mathrm{~ T h e ~ r e a d e r ~ i s ~ r e f e r}$
这个递归定义定义了一个数字的阶乘的过程
由基本情况确定，或由数字乘以的阶乘确定

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Cryptosystem
A system that describes how to encrypt or decrypt messages
Plaintext
Message in its original form
Ciphertext
Message in its encrypted form
Cryptographer
Invents encryption algorithms
Cryptanalyst
Breaks encryption algorithms or implementations

编码理论代写

编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。

编码共分四类：^[1]