数学代写| Distribution of arithmetic functions 数论代考
数论代考
The classical problem of the distribution of the values of arithmetic functions concerns the limiting behavior of (arithmetic) random variables of the form $g\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)$, where $g$ is an additive or multiplicative function, and $S{N}$ is the identity random variable on the probability space $\Omega_{\mathrm{N}}={1, \ldots, \mathrm{N}}$ with uniform probability measure. We saw an example in Proposition 1.4.1, but we will now prove a much more general statement.
In fact, in the additive case (see Section C.2 for the definition of additive functions), there is a remarkable characterization of those additive functions $g$ for which the sequence $\left(g\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)\right){\mathrm{N}}$ converges in law as $\mathrm{N} \rightarrow+\infty$. Arithmetically, it may be surprising that it depends on no more than Theorem 1.3.1 (or Corollary 1.3.9), and the simplest upper-bound of the right order of magnitude for the numbers of primes less than a
THEOREM 2.2.1. Let $g$ be a complex-valued additive function such that the series
$$
\sum_{|g(p)| \leqslant 1} \frac{g(p)}{p}, \quad \sum_{|g(p)| \leqslant 1} \frac{|g(p)|^{2}}{p}, \quad \sum_{|g(p)|>1} \frac{1}{p}
$$
converge. Then the sequence of random variables $\left(g\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)\right){\mathrm{N}}$ converges in law to the series over primes
$$
\sum_{p} g\left(p^{V_{p}}\right)
$$
where $\left(\mathrm{V}{p}\right){p}$ is a sequence of independent geometric random variables with
$$
\mathrm{P}\left(\mathrm{V}{p}=k\right)=\left(1-\frac{1}{p}\right) \frac{1}{p^{k}} $$ for $k \geqslant 0$. Recall that, in terms of $p$-adic valuations of integers, we can write $$ g(n)=\sum{p} g\left(p^{v_{p}(n)}\right)
$$
for any integer $n \geqslant 1$. Since the sequence of $p$-adic valuations converges in law to the sequence $\left(\mathrm{V}{p}\right)$ (Corollary 1.3.9), the formula (2.1) for the limiting distribution appears as a completely natural expression. PROOF. We write $g=g^{b}+g^{\sharp}$ where both summands are additive functions, and $$ g^{b}\left(p^{k}\right)= \begin{cases}g(p) & \text { if } k=1 \text { and }|g(p)| \leqslant 1 \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases} $$ Thus $g^{\sharp}(p)=0$ for a prime $p$ unless $|g(p)|>1$. We denote by $\left(\mathrm{B}{p}\right)$ the Bernoulli random variable indicator function of the event $\left{\mathrm{V}{p}=1\right}$; we have $$ \mathbf{P}\left(\mathrm{B}{p}=1\right)=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{p}\right) .
$$
We will prove that the vectors $\left(g^{b}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right), g^{\sharp}\left(\mathrm{S}{\mathrm{N}}\right)\right)$ converge in law to
$$
\left(\sum_{p} g^{b}\left(p^{V_{p}}\right), \sum_{p} g^{\sharp}\left(p^{V_{p}}\right)\right),
$$
and the desired conclusion then follows by composing with the continuous addition map $\mathrm{C}^{2} \rightarrow \mathrm{C}$ (i.e., applying Proposition B.3.2).
We will apply Proposition B.4.4 to the random vectors $\mathrm{G}{\mathrm{N}}=\left(g^{b}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right), g^{\sharp}\left(\mathrm{S}{\mathrm{N}}\right)\right)$ (with values in $\mathrm{C}^{2}$ ), with the approximations $\mathrm{G}{\mathrm{N}}=\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}+\mathrm{E}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}$ where
$$
\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}=\left(\sum{p \leqslant \mathrm{M}} g^{b}\left(p^{v_{p}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)}\right), \sum{p \leqslant \mathrm{M}} g^{\sharp}\left(p^{v_{p}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)}\right)\right) . $$ Let $M \geqslant 1$ be fixed. The random vectors $G{N, M}$ are finite sums, and are expressed as obviously continuous functions of the valuations $v_{p}$ of the elements of $\Omega_{\mathrm{N}}$, for $p \leqslant \mathrm{M}$. Since the vector of these valuations converges in law to $\left(\mathrm{V}{p}\right){p \leqslant \mathrm{M}}$ by Corollary 1.3.9, applying composition with a continuous map (Proposition B.3.2 again), it follows that $\left(\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}\right){\mathrm{N}}$ converges in law as $\mathrm{N} \rightarrow+\infty$ to the vector
$$
\left(\sum_{p \leqslant \mathrm{M}} g^{b}\left(p^{\mathrm{V}{p}}\right), \sum{p \leqslant \mathrm{M}} g^{\sharp}\left(p^{\mathrm{V}_{p}}\right)\right) \text {. }
$$
It is therefore enough to verify that Assumption (2) of Proposition B.4.4 holds, and we may do this separately for each of the two coordinates of the vector (by taking the norm on $\mathrm{C}^{2}$ in the proposition to be the maximal of the modulus of the two coordinates).
算术函数值分布的经典问题涉及 $g\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)$ 形式的（算术）随机变量的限制行为，其中$g$ 是加法或乘法函数，$S{N}$ 是概率空间上的恒等随机变量 $\Omega_{\mathrm{N}}={1, \ldots, \mathrm{N}\ }$ 具有统一的概率测度。我们在命题 1.4.1 中看到了一个例子，但我们现在将证明一个更一般的陈述。
事实上，在加法情况下（见第 C.2 节加法函数的定义），这些加法函数 $g$ 有一个显着的特征，其中序列 $\left(g\left(\mathrm{~S }{\mathrm{N}}\right)\right){\mathrm{N}}$ 收敛为 $\mathrm{N} \rightarrow+\infty$。在算术上，它仅取决于定理 1.3.1（或推论 1.3.9），以及对于小于
定理 2.2.1。令 $g$ 为复值加法函数，使得级数
$$
\sum_{|g(p)| \leqslant 1} \frac{g(p)}{p}, \quad \sum_{|g(p)| \leqslant 1} \frac{|g(p)|^{2}}{p}, \quad \sum_{|g(p)|>1} \frac{1}{p}
$$
收敛。然后随机变量序列 $\left(g\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)\right){\mathrm{N}}$ 规律地收敛于级数素数
$$
\sum_{p} g\left(p^{V_{p}}\right)
$$
其中 $\left(\mathrm{V}{p}\right){p}$ 是一系列独立的几何随机变量
$$
\mathrm{P}\left(\mathrm{V}{p}=k\right)=\left(1-\frac{1}{p}\right) \frac{1}{p^{k} } $$ 对于 $k \geqslant 0$。 回想一下，根据整数的 $p$-adic 估值，我们可以写 $$ g(n)=\sum{p} g\left(p^{v_{p}(n)}\right)
$$
对于任何整数 $n \geqslant 1$。由于 $p$-adic 估值序列在法律上收敛于序列 $\left(\mathrm{V}{p}\right)$（推论 1.3.9），因此出现了极限分布的公式（2.1）作为一种完全自然的表达方式。 证明。我们写 $g=g^{b}+g^{\sharp}$ 其中两个被加数都是加法函数，并且 $$ g^{b}\left(p^{k}\right)= \begin{cases}g(p) & \text { if } k=1 \text { and }|g(p)| \leqslant 1 \ 0 & \text { 否则。 }\结束{案例} $$ 因此，对于素数 $p$，$g^{\sharp}(p)=0$，除非 $|g(p)|>1$。我们用 $\left(\mathrm{B}{p}\right)$ 表示事件 $\left{\mathrm{V}{p}=1\right}$ 的伯努利随机变量指示函数;我们有 $$ \mathbf{P}\left(\mathrm{B}{p}=1\right)=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{p}\right) 。
$$
我们将证明向量 $\left(g^{b}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right), g^{\sharp}\left(\mathrm{S} {\mathrm{N}}\right)\right)$ 收敛到
$$
\left(\sum_{p} g^{b}\left(p^{V_{p}}\right), \sum_{p} g^{\sharp}\left(p^{V_{p}} \是的是的），
$$
然后通过与连续加法映射 $\mathrm{C}^{2} \rightarrow \mathrm{C}$ 组合（即应用命题 B.3.2）得出所需的结论。
我们将命题 B.4.4 应用于随机向量 $\mathrm{G}{\mathrm{N}}=\left(g^{b}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N} }\right), g^{\sharp}\left(\mathrm{S}{\mathrm{N}}\right)\right)$（值在 $\mathrm{C}^{2}$ 中） , 有近似值 $\mathrm{G}{\mathrm{N}}=\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}+\mathrm{E}{\mathrm{N }, \mathrm{M}}$ 其中
$$
\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}=\left(\sum{p \leqslant \mathrm{M}} g^{b}\left(p^{v_{p} \left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)}\right), \sum{p \leqslant \mathrm{M}} g^{\sharp}\left(p^{v_ {p}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)}\right)\right) 。 $$ 让 $M \geqslant 1$ 固定。随机向量 $G{N, M}$ 是有限和，并且表示为 $\Omega_{\mathrm{N}}$ 的元素的估值 $v_{p}$ 的明显连续函数，对于 $p \leqslant \mathrm{M}$。由于这些估值的向量根据推论 1.3.9 在法律上收敛到 $\left(\mathrm{V}{p}\right){p \leqslant \mathrm{M}}$，因此应用连续映射的合成（同样是命题 B.3.2），因此 $\left(\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}\right){\mathrm{N}}$ 在规律上收敛为$\mathrm{N} \rightarrow+\infty$ 到向量
$$
\left(\sum_{p \leqslant \mathrm{M}} g^{b}\left(p^{\mathrm{V}{p}}\right), \sum{p \leqslant \mathrm{M }} g^{\sharp}\left(p^{\mathrm{V}_{p}}\right)\right) \text {. }
$$
因此，足以验证命题 B.4.4 的假设 (2) 成立，我们可以对向量的两个坐标中的每一个分别进行验证（通过对 $\mathrm{C}^{2}$ 取范数）在命题中是两个坐标的模的最大值）。
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。