经济代写 |Open and closed sets. 微观经济学代写
经济代写
DEFINITION IV.4 (INTERIOR POINT). $x^{}$ is called an interior point of some set $M$ if there exists an $\varepsilon$-ball $K$ with center $x^{}$ such that $K \subseteq M$.
EXAMPLE IV.2. Point 1 is not an interior point of $[0,1]$.
EXAMPLE IV.3. $x^{}$ is an interior point of the $\varepsilon$-ball $K$ with center $x^{}$.
DEFINITION IV.5 (OPEN SET). A set that consists of interior points only is called open. The empty set (symbol $\emptyset$ ) is open.
A set $M$ is open if you can take an arbitrary point of this set and find an $\varepsilon$-ball $K$ that is contained in $M$.
EXAMPLE IV.4. In $\mathbb{R}^{1},(0,1)={x \in \mathbb{R}: 0<x<1}$ is an open set. $\mathbb{R}^{\ell}$ is open. Every $\varepsilon$-ball is an open set. You can see this by sketching the $\varepsilon$-ball and by finding a second, smaller one, around every point in the $\varepsilon$-ball (see figure IV.S).
Definition IV.6 (COMPLEMENT). $\mathbb{R}^{\ell} \backslash M=\left{x \in \mathbb{R}^{\ell}: x \notin M\right}$ is the complement of $M$ (in $\left.\mathbb{R}^{\ell}\right)$.
DEFINITION IV.7 (BOUNDARY POINT). $x^{}$ is called boundary point of a set $M$ if for all $\varepsilon$-balls $K$ with center $x^{}$ the following two conditions are fulfilled:
$$
\begin{aligned}
K \cap M & \neq \emptyset \text { and } \
K \cap\left(\mathbb{R}^{\ell} \backslash M\right) & \neq \emptyset .
\end{aligned}
$$
Figure IV.4 illustrates the definition of a boundary point in two-dimensional space.
EXERCISE IV.4. Find the boundary points of $(0,1) \subset \mathbb{R}$, of $[0,1]$, and of $[0,0]$ !
LEMMA IV.1. Assume that $x^{}$ is contained in $M$. Then, $x^{}$ is an interior point of $M$ if and only if $x^{*}$ is not a boundary point of $M$.
- THE VECTOR SPACE OF GOODS AND ITS TOPOLOGY
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FIGURE IV.4. A boundary point
PROOF. If $x^{}$ is an interior point of $M$, we can find an $\varepsilon$-ball $K$ with center $x^{}$ such that $K \subseteq M$. Then, $K \cap\left(\mathbb{R}^{\ell} \backslash M\right)=\emptyset$ and $x^{}$ is not a boundary point of $M$. If $x^{}$ is not an interior point of $M$, every e-ball $K$ with center $x^{}$ fulfills $K \nsubseteq M$ or, differently put, $K \cap\left(\mathbb{R}^{\ell} \backslash M\right) \neq \emptyset$. Also, every $\varepsilon$-balls $K$ with center $x^{}$ contains $x^{}$ Therefore, $x^{}$ is contained in both $K$ and $M$ so that $K \cap M \neq \emptyset$ holds. Thus, $x^{*}$ is a boundary point of $\operatorname{set} M$.
DEFINITION IV.8 (CLOSED SET). A set containing all its boundary points is called closed. $\mathbb{R}^{\ell}$ itself is also closed.
EXAMPLE IV.5. In $\mathbb{R}^{1},[0,1]={x \in \mathbb{R}: 0 \leq x \leq 1}$ is a closed set.
LEMMA IV.2. The complement of an open set is a closed set. The complement of a closed set is an open set.
It can be the case that a set is neither closed nor open. Consider, for example, the set ${0} \cup(1,2)$. On the other hand, $\mathbb{R}^{\ell}$ and $\emptyset$ are both open and closed.
DEFINITION IV.9 (COMPACT SET).A set $M \subseteq \mathbb{R}^{\ell}$ is called compact if it is closed and bounded.
EXAMPLE IV.6. $[0,1]$ is compact. $\mathbb{R}^{\ell}$ is closed but not bounded. $\varepsilon$-balls are bounded but not closed. Hence, neither $\mathbb{R}^{\ell}$ nor $\varepsilon$-balls are compact.
1.4. Sequences and convergence. It is often helpful to consider the above concepts from the point of view of sequences in $\mathbb{R}^{l}$.
定义 IV.4（内点）。如果存在一个中心为 $x^{}$ 的 $\varepsilon$-ball $K$ 使得 $K \subseteq M$，则 $x^{}$ 称为某个集合 $M$ 的内点。
示例 IV.2。点 1 不是 $[0,1]$ 的内点。
示例 IV.3。 $x^{}$ 是$\varepsilon$-球$K$ 的内点，中心为$x^{}$。
定义 IV.5（开集）。仅由内部点组成的集合称为开集。空集（符号 $\emptyset$ ）是打开的。
一个集合 $M$ 是开放的，如果你可以取这个集合的任意一点并且找到一个包含在 $M$ 中的 $\varepsilon$-ball $K$。
例 IV.4。在 $\mathbb{R}^{1},(0,1)={x \in \mathbb{R} 中：0<x<1}$ 是一个开集。 $\mathbb{R}^{\ell}$ 已打开。每个 $\varepsilon$-ball 都是一个开集。你可以通过画出$\varepsilon$-ball 并在$\varepsilon$-ball 中的每个点周围找到第二个较小的球来看到这一点（见图IV.S）。
定义 IV.6（补充）。 $\mathbb{R}^{\ell} \backslash M=\left{x \in \mathbb{R}^{\ell}: x \notin M\right}$ 是 $M$ (在 $\left.\mathbb{R}^{\ell}\right)$.
定义 IV.7（边界点）。 $x^{}$ 称为集合 $M$ 的边界点，如果对于所有中心为 $x^{}$ 的 $\varepsilon$-balls $K$ 满足以下两个条件：
$$
\开始{对齐}
K \cap M & \neq \emptyset \text { 和 } \
K \cap\left(\mathbb{R}^{\ell} \backslash M\right) & \neq \emptyset 。
\end{对齐}
$$
图 IV.4 说明了二维空间中边界点的定义。
练习 IV.4。找到 $(0,1) \subset \mathbb{R}$、$[0,1]$ 和 $[0,0]$ 的边界点！
引理 IV.1。假设 $x^{}$ 包含在 $M$ 中。那么，$x^{}$ 是 $M$ 的内点当且仅当 $x^{*}$ 不是 $M$ 的边界点。
- 货物的向量空间及其拓扑
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图 IV.4。边界点
证明。如果$x^{}$ 是$M$ 的内点，我们可以找到一个中心为$x^{}$ 的$\varepsilon$-球$K$，使得$K \subseteq M$。则$K \cap\left(\mathbb{R}^{\ell} \backslash M\right)=\emptyset$ 且$x^{}$ 不是$M$ 的边界点。如果 $x^{}$ 不是 $M$ 的内点，则每个中心为 $x^{}$ 的电子球 $K$ 满足 $K \nsubseteq M$ 或者，换句话说，$K \cap \left(\mathbb{R}^{\ell} \backslash M\right) \neq \emptyset$.此外，每个中心为 $x^{}$ 的 $\varepsilon$-balls $K$ 包含 $x^{}$ 因此，$x^{}$ 包含在 $K$ 和 $M$ 中，所以$K \cap M \neq \emptyset$ 成立。因此，$x^{*}$ 是 $\operatorname{set} M$ 的边界点。
定义 IV.8（闭集）。包含其所有边界点的集合称为闭集。 $\mathbb{R}^{\ell}$ 本身也是封闭的。
示例 IV.5。在 $\mathbb{R}^{1},[0,1]={x \in \mathbb{R}: 0 \leq x \leq 1}$ 是一个闭集。
引理 IV.2。开集的补集是闭集。闭集的补集是开集。
一个集合既不是封闭的也不是开放的可能是这种情况。例如，考虑集合 ${0} \cup(1,2)$。另一方面，$\mathbb{R}^{\ell}$ 和 $\emptyset$ 既是开放的又是封闭的。
定义 IV.9 (紧集) 如果集合 $M \subseteq \mathbb{R}^{\ell}$ 是闭集且有界的，则称其为紧集。
例 IV.6。 $[0,1]$ 是紧凑的。 $\mathbb{R}^{\ell}$ 是封闭的，但不是有界的。 $\varepsilon$-balls 是有界的但不是封闭的。因此，$\mathbb{R}^{\ell}$ 和 $\varepsilon$-球都不是紧致的。
1.4.序列和收敛。从 $\mathbb{R}^{l}$ 中的序列的角度考虑上述概念通常很有帮助。
经济代考
微观经济学又称个体经济学，小经济学，是宏观经济学的对称。 微观经济学主要以单个经济单位( 单个的生产者、单个的消费者、单个市场的经济活动)作为研究对象，分析单个生产者如何将有限的资源分配在各种商品的生产上以取得最大的利润；单个消费者如何将有限的收入分配在各种商品的消费上以获得最大的满足。
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微观经济学 是研究人们和企业在资源分配、商品和服务交易价格等方面做出的决策。它考虑税收、法规和政府立法。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。