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A public key cryptosystem (Fig. 10.7) is an asymmetric key system where there is a separate key $e_{k}$ for encryption and $d_{k}$ decryption with $e_{k} \neq d_{k}$. Martin Hellman and Whitfield Diffie invented it in 1976 . The fact that a person is able to encrypt a
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\hline Table. & $10.3$ DES encryption \
\hline Step & Description \
\hline 1 & Expansion of the 32 -bit half block to 48 bits (by duplicating half of the bits) \
\hline 2 & The 48 -bit result is combined with a 48 bit subkey of the secret key using an XOR operation \
\hline 3 & The 48 -bit result is broken in to $8 * 6$ bits and passed through 8 substitution boxes to yield $8 * 4=32$ bits (This is the core part of the encryption algorithm) \
\hline 4 & The 32 -bit output is re-arranged according to a fixed permutation \
\hline
\end{tabular}$10.5$ Public Key Systems
Table. $10.5$ Advantages and disadvantages of public key cryptosystems
\begin{tabular}{l|l|}
Advantages & Disadvantages \
\hline Only the private key needs to be kept secret & Public keys must be authenticated \
\hline The distribution of keys for encryption is convenient, & It is slow and uses more computer \
as everyone publishes their public key and the & resources \
private key is kept private & \
It provides message authentication as it allows the & Security Compromise is possible (if \
use of digital signatures (which enables the recipient & private key is compromised) \
to verify that the message is really from the particular & \
sender) & The sender encodes with the private key that is known only to sender. The receiver decodes with the public key and therefore knows that the message is from the sender \
\hline Detection of tampering (digital signatures enable the receiver to detect whether message was altered in transit) & Loss of private key may be irreparable (unable to decrypt messages) \
\hline Provides for non-repudiation & \
\hline
\end{tabular}
compute problem for large $n$ since there is no efficient algorithm to factorize a large integer into its prime factors (integer factorization problem).
compute problem f a large integer into
(ii) The function $f_{g, N}: x \rightarrow g^{x}(\bmod \mathrm{N})$ is a one way function since it is easy to compute. However, the inverse function $f^{-1}$ is difficult to compute as there is no efficient method to determine $x$ from the knowledge of $g^{x}(\bmod \mathrm{N})$ and $g$ and $\mathrm{N}$ (the discrete logarithm problem).
(iii) The function $f_{k, N}: x \rightarrow x^{k}(\bmod \mathrm{N})$ (where $\mathrm{N}=p q$ and $p$ and $q$ are primes) and $k k^{\prime \prime} \equiv 1(\bmod \mathrm{N})$ is a trapdoor function. It is easy to compute but the inverse of $f$ (the $k^{\text {th }}$ root modulo $\mathrm{N}$ ) is difficult to compute. However, if the trapdoor $k^{\prime}$ is given then $f$ can easily be inverted as $\left(x^{k}\right)^{k^{\prime}} \equiv x(\bmod \mathrm{N})$
10.5.1 RSA Public Key Cryptosystem
Rivest, Shamir and Adleman proposed a practical public key cryptosystem (RSA) based on primality testing and integer factorization in the late $1970 \mathrm{~s}$. The RSA algorithm was filed as a patent (Patent No. 4,405, 829) at the U.S. Patent Office in December 1977. The RSA public key cryptosystem is based on the following assumptions:

It is straightforward to find two large prime numbers.
The integer factorization problem is infeasible for large numbers.

公钥密码系统（图 10.7）是一个非对称密钥系统，其中有一个单独的密钥 $e_{k}$ 用于加密和 $d_{k}$ 解密，$e_{k} \neq d_{k}$。 Martin Hellman 和 Whitfield Diffie 于 1976 年发明了它。一个人能够加密一个事实
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\hline 表。 & $10.3$ DES 加密 \
\hline 步骤和说明 \
\hline 1 & 将 32 位半块扩展为 48 位（通过复制一半位）\
\hline 2 & 使用 XOR 操作将 48 位结果与密钥的 48 位子密钥组合在一起
\hline 3 & 将 48 位结果分解为 $8 * 6$ 位并通过 8 个替换框得到 $8 * 4=32$ 位（这是加密算法的核心部分）\
\hline 4 & 32 位输出根据固定排列重新排列 \
\hline
\end{tabular}$10.5$ 公钥系统
桌子。 $10.5$ 公钥密码系统的优缺点
\开始{表格}{l|l|}
优点缺点 \
\hline 只有私钥需要保密 & 公钥必须经过身份验证 \
\hline 用于加密的密钥分配方便，& 速度慢，使用较多电脑 \
因为每个人都发布了他们的公钥和 & 资源 \
私钥保持私有 & \
它提供消息身份验证，因为它允许 & 安全妥协是可能的（如果 \
使用数字签名（这会使收件人和私钥受到损害）\
验证消息是否真的来自特定的 & \
发件人) & 发件人使用只有发件人知道的私钥进行编码。接收方使用公钥解码，因此知道消息来自发送方\
\hline 篡改检测（数字签名使接收方能够检测消息在传输过程中是否被更改）& 私钥丢失可能无法弥补（无法解密消息）\
\hline 提供不可否认性 & \
\hline
\end{表格}
计算大 $n$ 的问题，因为没有有效的算法将大整数分解为其素数（整数分解问题）。
计算问题 f 一个大整数到
(ii) 函数 $f_{g, N}: x \rightarrow g^{x}(\bmod \mathrm{N})$ 是单向函数，因为它易于计算。然而，逆函数 $f^{-1}$ 很难计算，因为没有有效的方法来根据 $g^{x}(\bmod \mathrm{N})$ 和 $ 的知识确定 $x$ g$ 和 $\mathrm{N}$（离散对数问题）。
(iii) 函数 $f_{k, N}: x \rightarrow x^{k}(\bmod \mathrm{N})$ (其中 $\mathrm{N}=pq$ and $p$ and $q$是素数），$kk^{\prime \prime} \equiv 1(\bmod \mathrm{N})$ 是陷门函数。它很容易计算，但 $f$ 的倒数（$k^{\text {th }}$ 根模 $\mathrm{N}$ ）很难计算。但是，如果给定陷门 $k^{\prime}$，则 $f$ 可以很容易地反转为 $\left(x^{k}\right)^{k^{\prime}} \equiv x(\ bmod \mathrm{N})$
10.5.1 RSA公钥密码系统
Rivest、Shamir 和 Adleman 在 1970 年后期提出了一种实用的公钥密码系统 (RSA)，该系统基于素数测试和整数分解。 RSA 算法于 1977 年 12 月在美国专利局作为专利（专利号 4,405, 829）提交。RSA 公钥密码系统基于以下假设：

找到两个大素数很简单。
整数分解问题对于大数是不可行的。

图论代考

自然数 $\mathbb{N}$ 由数字 $\{1,2,3, \ldots\}$ 组成。整数 $\mathbb{Z}$ 由 $\{\ldots-2,-1,0,1,2, \ldots\}$ 组成。有理数 $\mathbb{Q}$ 由 $\left\{{ }^{p} /_{q}\right.$ 形式的所有数字组成，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，$ \left.q \neq 0\right\}$。实数 $\mathbb{R}$ 被定义为有理数收敛序列的集合，它们是有理数的超集。它们包含有理数和无理数。复数 $\mathbb{C}$ 由 $\{a+bi$ 形式的所有数字组成，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 和 $i=\sqrt{-} 1\}美元。毕达哥拉斯三元组（图 3.2）是满足毕达哥拉斯方程 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 的三个整数的组合。有无数个这样的三元组，这种三元组的一个例子是 $3,4,5$，因为 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$。毕达哥拉斯学派发现了音乐和数字之间的数学关系，他们的哲学是数字隐藏在从音乐到科学和自然的一切事物中。这导致了他们的哲学，即“一切都是数字”。

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Cryptosystem
A system that describes how to encrypt or decrypt messages
Plaintext
Message in its original form
Ciphertext
Message in its encrypted form
Cryptographer
Invents encryption algorithms
Cryptanalyst
Breaks encryption algorithms or implementations

编码理论代写

编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。

编码共分四类：^[1]