统计代写|The Discrete Case抽样理论代考
统计代写
The conditional distribution is defined as follows:
- Let $X$ and $Y$ be two discrete random variables. The conditional distribution of $X$ given $Y=y$ is defined by
$$
P(X=x \mid Y=y)=\frac{P(X=x ; Y=y)}{P(Y=y)}
$$
for all $x$ in the support of $X$.
In the preceding definition we need to assume that $P(Y=y)>0$.
A word on notation we use ” $A, B$ ” and ” $A ; B$ ” interchangeably. It designates the intersection of the two events $A$ and $B$.
Example 1 The table below gives the joint density of $(X, Y)$.
\begin{tabular}{l|l|l|l}
\hline$Y \backslash X$ & 0 & 1 & 2 \
\hline 1 & $1 / 8$ & $1 / 8$ & $1 / 4$ \
\hline 2 & 0 & $1 / 8$ & $1 / 8$ \
\hline 3 & $1 / 8$ & $1 / 8$ & 0 \
\hline
\end{tabular}
The support of $X$ is ${0,1,2}$. The support of $Y$ is ${1,2,3}$. We read in the table above that $P(X=1 ; Y=2)=1 / 8$. The marginal distributions of $X$ and $Y$ are easily obtained. For instance,
$$
P(X=1)=P(X=1 ; Y=1)+P(X=1 ; Y=2)+P(X=1 ; Y=3) .
$$
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi, Probability with Stailistical Applications, https://doi.org/10.1007/978-3-030-93635-8_18
197
18 Conditional Distribution and Expectation
198
That is, we sum the column below $X=1$ to get $P(X=1)$. In a similar way we obtain $P(X=0)$ and $P(X=2)$. The marginal distribution of $X$ is
\begin{tabular}{l|l|l|l}
\hline$x$ & 0 & 1 & 2 \
\hline$P(X=x)$ & $1 / 4$ & $3 / 8$ & $3 / 8$ \
\hline
\end{tabular}
By summing rows we get the marginal distribution of $Y$.
\begin{tabular}{l|l|l|l}
\hline$y$ & 1 & 2 & 3 \
\hline$P(Y=y)$ & $1 / 2$ & $1 / 4$ & $1 / 4$ \
\hline
\end{tabular}
Recall that $X$ and $Y$ are independent if and only if
$$
P(X=x ; Y=y)=P(X=x) P(Y=y),
$$
for all $x$ and $y$. In the present example it is easy to see that $X$ and $Y$ are not independent. For instance, $P(X=0 ; Y=2)=0$ but $P(X=0) P(Y=2) \neq 0$.
We now turn to the computation of conditional distributions. By definition of conditional probabilities,
$$
P(X=0 \mid Y=1)=\frac{P(X=0 ; Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{1 / 8}{1 / 2}=\frac{1}{4}
$$
Sim̄ilărlỳ, wẽ gect
$$
P(X=1 \mid Y=1)=\frac{1 / 8}{1 / 2}=\frac{1}{4}
$$
and
$$
P(X=2 \mid Y=1)=\frac{1 / 4}{1 / 2}=\frac{1}{2}
$$
The conditional distribution of $X$ given $Y=1$ is
条件分布定义如下：
- 令 $X$ 和 $Y$ 是两个离散的随机变量。给定 $Y=y$ 的 $X$ 的条件分布定义为
$$
P(X=x \mid Y=y)=\frac{P(X=x ; Y=y)}{P(Y=y)}
$$
在$X$的支持下所有$x$。
在前面的定义中，我们需要假设 $P(Y=y)>0$。
关于符号的一个词，我们可以互换使用“$A, B$”和“$A;B$”。它指定两个事件 $A$ 和 $B$ 的交集。
示例 1 下表给出了 $(X, Y)$ 的联合密度。
\begin{表格}{l|l|l|l}
\hline$Y \反斜杠 X$ & 0 & 1 & 2 \
\hline 1 & $1 / 8$ & $1 / 8$ & $1 / 4$ \
\hline 2 & 0 & $1 / 8$ & $1 / 8$ \
\hline 3 & $1 / 8$ & $1 / 8$ & 0 \
\hline
\end{表格}
$X$ 的支持是 ${0,1,2}$。 $Y$ 的支持是 ${1,2,3}$。我们在上表中读到 $P(X=1 ; Y=2)=1 / 8$。 $X$ 和 $Y$ 的边际分布很容易获得。例如，
$$
P(X=1)=P(X=1 ; Y=1)+P(X=1 ; Y=2)+P(X=1 ; Y=3) 。
$$
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi，概率与统计应用，https://doi.org/10.1007/978-3-030-93635-8_18
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18 条件分布和期望
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也就是说，我们将 $X=1$ 下面的列相加得到 $P(X=1)$。以类似的方式，我们得到 $P(X=0)$ 和 $P(X=2)$。 $X$ 的边际分布是
\begin{表格}{l|l|l|l}
\hline$x$ & 0 & 1 & 2 \
\hline$P(X=x)$ & $1 / 4$ & $3 / 8$ & $3 / 8$ \
\hline
\end{表格}
通过对行求和，我们得到 $Y$ 的边际分布。
\begin{表格}{l|l|l|l}
\hline$y$ & 1 & 2 & 3 \
\hline$P(Y=y)$ & $1 / 2$ & $1 / 4$ & $1 / 4$ \
\hline
\end{表格}
回想一下 $X$ 和 $Y$ 是独立的当且仅当
$$
P(X=x ; Y=y)=P(X=x) P(Y=y),
$$
对于所有 $x$ 和 $y$。在本例中，很容易看出 $X$ 和 $Y$ 不是独立的。例如，$P(X=0 ; Y=2)=0$ 但 $P(X=0) P(Y=2) \neq 0$。
我们现在转向条件分布的计算。根据条件概率的定义，
$$
P(X=0 \mid Y=1)=\frac{P(X=0 ; Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{1 / 8}{1 / 2}=\frac {1}{4}
$$
Sim̄ilărlỳ, wẽ gect
$$
P(X=1 \mid Y=1)=\frac{1 / 8}{1 / 2}=\frac{1}{4}
$$
和
$$
P(X=2 \mid Y=1)=\frac{1 / 4}{1 / 2}=\frac{1}{2}
$$
给定 $Y=1$ 的 $X$ 的条件分布是
统计代考
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数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
