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统计代写|The Correlation抽样理论代考

统计代写|The Correlation 抽样理论代考

统计代写

  • Let $Z_{1}$ and $Z_{2}$ be two independent standard normal random variables. Let $\sigma_{1}>$ $0, \sigma_{2}>0,-1<\rho<1, \mu_{1}$, and $\mu_{2}$ be real numbers. Define
    $$
    X_{1}=\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1} \text { and } X_{2}=\sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}
    $$
    Then, $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ is said to have a bivariate normal distribution with parameters $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2}$, and $\rho$.
  • Assume $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ is a bivariate normal vector with parameters $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2}$, and $\rho$. Then $X_{1}$ is normally distributed with mean $\mu_{1}$ and variance $\sigma_{1}^{2}$ and $X_{2}$ is normally distributed with mean $\mu_{2}$ and variance $\sigma_{2}^{2}$.
    It is easy to see that $X_{1}$ is normally distributed as a linear transformation of a normal random variable $Z_{1}$. The fact that $X_{2}$ is normally distributed comes from the following property of the normal distribution. A linear combination of two independent normal variables is also normal. This will be proved in the moment random variables $Z_{1}$ and $Z_{2}, X_{2}$ is also normally distributed.
    We will show the following properties of a bivariate normal:
  • Consider a bivariate random vector $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ as defined above. Then, $E\left(X_{1}\right)=$ $\mu_{1}, E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}, \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\sigma_{1}^{2}, \operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}$, and the correlation of $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ is $\rho$.
    209
    We now perform these computations. We will use that $Z_{1}$ and $Z_{2}$ are independent, $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$, and $\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{2}\right)=1$. Note that these
    (C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi, Probability with Statistical Applications,
    Using that $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ and the linearity of the expectation it is easy to that $E\left(X_{1}\right)=\mu_{1}$ and $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$. This is left to the reader. Using that the variance is shift invariant and is quadratic, $$ \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1}\right) $$ $$ =\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}\right) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} \operatorname{Var}\left(Z_{1}\right) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} $$
    210
    computations hold for any distributions for $Z_{1}$ and $Z_{2}$. The fact that $Z_{1}$ and $Z_{2}$ are normally distributed plays no role at this point.

Using that $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ and the linearity of the expectation it is easy to see that $E\left(X_{1}\right)=\mu_{1}$ and $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$. This is left to the reader.
Using that the variance is shift invariant and is quadratic,
We now turn to $\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)$, using the independence of $Z_{1}$ and $Z_{2}$,
We now compute the covariance of $X_{1}$ and $X_{2}$. Recall that the covariance is shift $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}\right) \ &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}\right) \end{aligned} $$ invariant and linear in both components, hence
$$
=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)+\sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{2}\right)
$$
Using now that $\operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=1$ and that $\operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{2}\right)=0$ we get
$$
\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho
$$
By definition

  • 令 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是两个独立的标准正态随机变量。令 $\sigma_{1}>$ $0, \sigma_{2}>0,-1<\rho<1, \mu_{1}$ 和 $\mu_{2}$ 为实数。定义
    $$
    X_{1}=\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1} \text { 和 } X_{2}=\sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{ 1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}
    $$
    然后,$\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 被称为具有参数 $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_ 的二元正态分布{2}$ 和 $\rho$。
  • 假设 $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 是具有参数 $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2} 的二元法线向量$ 和 $\rho$。那么 $X_{1}$ 正态分布,均值 $\mu_{1}$ 和方差 $\sigma_{1}^{2}$ 并且 $X_{2}$ 正态分布,均值 $\mu_{2} $ 和方差 $\sigma_{2}^{2}$。
    很容易看出,$X_{1}$ 是作为正态随机变量 $Z_{1}$ 的线性变换的正态分布。 $X_{2}$ 是正态分布的事实来自正态分布的以下性质。两个独立正态变量的线性组合也是正态的。这将在随机变量 $Z_{1}$ 和 $Z_{2} 的时刻得到证明,X_{2}$ 也是正态分布的。
    我们将展示二元正态的以下属性:
  • 考虑如上定义的二元随机向量 $\left(X_{1}, X_{2}\right)$。那么,$E\left(X_{1}\right)=$$\mu_{1}, E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}, \operatorname{Var}\left(X_ {1}\right)=\sigma_{1}^{2},\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}$,以及$\的相关性left(X_{1}, X_{2}\right)$ 是 $\rho$。
    209
    我们现在执行这些计算。我们将使用 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是独立的,$E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ 和 $ \operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{2}\right)=1$。请注意,这些
    (C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi,概率与统计应用,
    使用 $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ 和期望的线性很容易得到 $E\left(X_{1}\右)=\mu_{1}$ 和 $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$。这是留给读者的。使用方差是移位不变的并且是二次的,$$ \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{ 1}\right) $$ $$ =\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}\right) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} \operatorname{Var}\左(Z_{1}\右) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} $$
    210
    计算适用于 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 的任何分布。 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是正态分布的事实在这一点上没有任何作用。

使用 $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ 和期望的线性很容易看出 $E\left(X_{1} \right)=\mu_{1}$ 和 $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$。这是留给读者的。
使用方差是移位不变的并且是二次的,
我们现在转向 $\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)$,利用 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 的独立性,
我们现在计算 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的协方差。回想一下,协方差是 shift $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{ 1}+\mu_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}\right ) \ &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2 }} Z_{2}\right) \end{aligned} $$ 在两个分量中都是不变的和线性的,因此
$$
=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)+\sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\ rho^{2}} \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{2}\right)
$$
现在使用 $\operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=1$ 和 $\operatorname{Cov }\left(Z_{1}, Z_{2}\right)=0$ 我们得到
$$
\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho
$$
根据定义

统计代考

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抽样理论(sampling theory)是关于从总体中抽取具有代表性的和适当的样本以得出有效推论的原则和分析技术的一种统计学理论。包括两个主题:(1)样本如何抽取,即抽样方法的问题。如随机抽样、分层抽样、分层等比抽样、系统抽样、群类抽样、有限总体抽样等;(2)样本大小的问题。

计量经济学代考

计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础,运用数学、统计方法与电脑技术,以建立经济计量模型为主要手段,定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法,使之成为经济关系测定的特殊方法。

相对论代考

相对论(英語:Theory of relativity)是关于时空和引力的理论,主要由愛因斯坦创立,依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化,它们共同奠定了现代物理学的基础。

编码理论代写

编码理论(英语:Coding theory)是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩加密纠错,最近也用于网络编码中。不同学科(如信息论电机工程学数学语言学以及计算机科学)都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正(或检测)数据传输中的错误。

编码共分四类:[1]

  1. 数据压缩(或信源编码
  2. 前向错误更正(或信道编码
  3. 加密编码
  4. 线路码

数据压缩和前向错误更正可以一起考虑

复分析代考

学习易分析也已经很冬年了,七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作,方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科,主要是研究解析函数,亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ,首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根, 极坐标与 $x y$ 坐标的转换,复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题,此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面,从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式,这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后,就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中, 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后,就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。

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