统计代写|Sample Maximum and Minimum抽样理论代考
统计代写
3 Sample Maximum and Minimum
Another important application of cumulative distribution functions is the computation of the distribution of the maximum and minimum of a random sample.
Example 7 Assume that $T_{1}$ and $T_{2}$ are two independent exponentially distributed random variables with rates $\lambda_{1}$ and $\lambda_{2}$, respectively. Let $T$ be the minimum of $T_{1}$ and $T_{2}$, what is the distribution of $T$ ?
First observe that since the support of $T_{1}$ and $T_{2}$ is $(0,+\infty)$ so is the support of $T$. Let $F$ be the distribution function of $T$. Let $t>0$,
$$
F(t)=P(T \leq t)=P\left(\min \left(T_{1}, T_{2}\right) \leq t\right)
$$
In order to achieve $\min \left(T_{1}, T_{2}\right) \leq t$ there are three possibilities, $T_{1}t$ or $T_{1}>t$ and $T_{2}t\right)$. Observe that $\min \left(T_{1}, T_{2}\right)>t$ if and only if $T_{1}>t$ and $T_{2}>t$. Thus, since we are assuming that $T_{1}$ and $T_{2}$ are independent,
$$
\begin{aligned}
F(t) &=1-P\left(T_{1}>t\right) P\left(T_{2}>t\right) \
&=1-\left(1-F_{1}(t)\right)\left(1-F_{2}(t)\right)
\end{aligned}
$$
where $F_{1}$ and $F_{2}$ are the distribution functions of $T_{1}$ and $T_{2}$, respectively. Using the distribution function given in Example 2,
$$
F(t)=1-e^{-\lambda_{1} t} e^{-\lambda_{2} t}=1-e^{-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) t} \text { for } t>0
$$
Note that $F$ is the distribution function of an exponential random variable with rate $\lambda_{1}+\lambda_{2}$. Therefore, the minimum of two independent exponential random variables is also exponentially distributed and its rate is the sum of the two rates.
Next we look at the maximum of three uniform random variables.
Example 8 Let $U_{1}, U_{2}$, and $U_{3}$ be three independent random variables uniformly distributed on $[0,1]$. Let $M$ be the maximum of $U_{1}, U_{2}, U_{3}$. What is the density of $M$ ?
The maximum of three numbers in $(0,1)$ is also in $(0,1)$. Hence, the support of $M$ is $(0,1)$. We first compute the distribution function of $M$ and then differentiate to get the density. Let $F_{M}$ be the distribution function of $M$. Then,
$$
F_{M}(x)=P(M \leq x)=P\left(\max \left(U_{1}, U_{2}, U_{3}\right) \leq x\right)
$$
Note that $\max \left(U_{1}, U_{2}, U_{3}\right) \leq x$ if and only if $U_{1} \leq x, U_{2} \leq x$, and $U_{3} \leq x$. Thus, due to the independence of the $U_{i}$,
$$
F_{M}(x)=P\left(U_{1} \leq x\right) P\left(U_{2} \leq x\right) P\left(U_{3} \leq x\right)
$$
166
15 The Cumulative Distribution Function
Since $U_{1}, U_{2}$, and $U_{3}$ all have the same distribution they have the same distribution function. Recall from Example 1 that $P(U \leq x)-x$ for $0<x<1$. Hence,
$$
F_{M}(x)=x^{3} \text { for } 0<x<1
$$
Thus, the density of $M$ that we denote by $f_{M}$ is
$$
f_{M}(x)=\frac{d}{d x} F_{M}(x)=3 x^{2} \text { for } x \text { in }(0,1)
$$
Observe that the maximum of uniform random variables is not uniform!
3 样本最大值和最小值
累积分布函数的另一个重要应用是计算随机样本的最大值和最小值的分布。
例 7 假设 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 是两个独立的指数分布的随机变量，其速率分别为 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$。令$T$ 为$T_{1}$ 和$T_{2}$ 的最小值，$T$ 的分布是什么？
首先观察由于$T_{1}$ 和$T_{2}$ 的支持是$(0,+\infty)$，所以$T$ 的支持也是。令$F$ 为$T$ 的分布函数。令$t>0$，
$$
F(t)=P(T \leq t)=P\left(\min \left(T_{1}, T_{2}\right) \leq t\right)
$$
为了实现$\min \left(T_{1}, T_{2}\right) \leq t$ 有三种可能，$T_{1}t$ or $ T_{1}>t$ 和 $T_{2}t\right)$。观察 $\min \left(T_{1}, T_{2}\right)>t$ 当且仅当 $T_{1}>t$ 和 $T_{2}>t$。因此，由于我们假设 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 是独立的，
$$
\开始{对齐}
F(t) &=1-P\left(T_{1}>t\right) P\left(T_{2}>t\right) \
&=1-\left(1-F_{1}(t)\right)\left(1-F_{2}(t)\right)
\end{对齐}
$$
其中$F_{1}$和$F_{2}$分别是$T_{1}$和$T_{2}$的分布函数。使用示例 2 中给出的分布函数，
$$
F(t)=1-e^{-\lambda_{1} t} e^{-\lambda_{2} t}=1-e^{-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2} \right) t} \text { for } t>0
$$
注意，$F$ 是指数随机变量的分布函数，速率为 $\lambda_{1}+\lambda_{2}$。因此，两个独立的指数随机变量的最小值也是指数分布的，它的比率是两个比率的和。
接下来我们看三个均匀随机变量的最大值。
示例 8 令 $U_{1}、U_{2}$ 和 $U_{3}$ 为均匀分布在 $[0,1]$ 上的三个独立随机变量。令 $M$ 为 $U_{1}、U_{2}、U_{3}$ 的最大值。 $M$ 的密度是多少？
$(0,1)$ 中三个数字的最大值也在 $(0,1)$ 中。因此，$M$ 的支持是 $(0,1)$。我们首先计算$M$的分布函数，然后微分得到密度。令$F_{M}$ 为$M$ 的分布函数。然后，
$$
F_{M}(x)=P(M \leq x)=P\left(\max \left(U_{1}, U_{2}, U_{3}\right) \leq x\right)
$$
注意 $\max \left(U_{1}, U_{2}, U_{3}\right) \leq x$ 当且仅当 $U_{1} \leq x, U_{2} \leq x$ , 和 $U_{3} \leq x$。因此，由于 $U_{i}$ 的独立性，
$$
F_{M}(x)=P\left(U_{1} \leq x\right) P\left(U_{2} \leq x\right) P\left(U_{3} \leq x\right)
$$
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15 累积分布函数
由于 $U_{1}、U_{2}$ 和 $U_{3}$ 都具有相同的分布，因此它们具有相同的分布函数。回想示例 1 中的 $P(U \leq x)-x$ 对于 $0<x<1$。因此，
$$
F_{M}(x)=x^{3} \text { for } 0<x<1
$$
因此，我们用 $f_{M}$ 表示的 $M$ 的密度是
$$
f_{M}(x)=\frac{d}{d x} F_{M}(x)=3 x^{2} \text { for } x \text { in }(0,1)
$$
观察均匀随机变量的最大值是不均匀的！
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。