统计代写|Conditional Expectation抽样理论代考
统计代写
Ine aennition beIow appiles equany wenl to discrete and conunuous ranaom
variables.
- Let $X$ and $Y$ be two random variables. We denote by $E(X \mid Y=y)$ the expected
value of the conditional distribution of $X$ given $Y=y$. The conditional
expectation of $X$ given $Y$ is denoted by $E(X \mid Y)$ and is defined to be $E(X \mid Y=$
$y$ ) on the event $Y=y$.
Note that $E(X \mid Y=y)$ assigns a value to every $y$ in the support of $Y$. Hence,
$E(X \mid Y=y)$ is a function $g(y)$ and therefore $E(X \mid Y)=g(Y)$. Since the conditional
expectation $E(X \mid Y)$ is a function of the random variable $Y, E(X \mid Y)$ is also a
random variable.
Example 5 In Example 2 the conditional distribution of $F$ given $N=n$ is a
binomial distribution with parameters $n$ and $p$. Hence,
$$
E(F \mid N=n)=n p .
$$
That is, $E(F \mid N=n)=g(n)$ where $g(n)=n p$ for every positive integer $n$. Therefore,
$$
E(F \mid N)=g(N)=N p .
$$
Example 6 Consider Example 4. The random variable $X$ is uniformly distributed on $(0,1)$. Given $X=x$ then $Y$ is uniformly distributed on $(0, x)$. Since the expected value of a uniform distribution on $(0, x)$ is $x / 2$ we have
$$
E(Y \mid X=x)=x / 2 .
$$
Hence,
$$
E(Y \mid X)=X / 2 .
$$
We now list several properties of the conditional expectation. We omit the proofs, the interested reader may look at Durrett (1994) for instance.
P1 For any random variables $X$ and $Y$,
$$
E[E(X \mid Y)]=E(X) .
$$
P2 Assume that $X$ and $Y$ are two independent random variables. Then,
$$
E(X \mid Y)=E(X)
$$
205
P3 The conditional cxpcctation is lincar. That is, let $U, V$, and $W$ b variables and $a$ and $b$ be real numbers then $$ E(a U+b V \mid W)=a E(U \mid W)+b E(V \mid W) \text {. } $$ P4 Let $h$ be a function and $X$ and $Y$ be random variables then $$ E(h(Y) X \mid Y)=h(Y) E(X \mid Y) \text {. } $$ $$ E(h(Y) \mid Y)=h(Y) \text {. } $$ In the next two examples unconditional cxpcctation.
unconditional cxpcctation.
Example 7 We go back to Example 4. Recall that $E(Y \mid X)=X / 2$. By P1,
$$
E[E(Y \mid X)]=E(Y) .
$$
Hence, $E(Y)=E(X / 2)$. Using that $X$ is uniformly distributed on $(0,1), E(X)=$ $1 / 2$. Therefore,
$$
E(Y)=E(X / 2)=1 / 4,
$$
We now check property P1 by computing $E(Y)$ directly. We have already computed
下列条件适用于离散和连续的随机数
变量。
- 让 $X$ 和 $Y$ 是两个随机变量。我们用 $E(X \mid Y=y)$ 表示预期的
给定 $Y=y$ 的条件分布 $X$ 的值。有条件的
给定 $Y$ 对 $X$ 的期望由 $E(X \mid Y)$ 表示，并定义为 $E(X \mid Y=$
$y$ ) 在 $Y=y$ 事件上。
请注意，$E(X \mid Y=y)$ 在 $Y$ 的支持下为每个 $y$ 分配一个值。因此，
$E(X \mid Y=y)$ 是一个函数 $g(y)$，因此 $E(X \mid Y)=g(Y)$。由于有条件
期望 $E(X \mid Y)$ 是随机变量 $Y 的函数，E(X \mid Y)$ 也是一个
随机变量。
示例 5 在示例 2 中，给定 $N=n$ 的 $F$ 的条件分布是
参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布。因此，
$$
E(F \mid N=n)=n p 。
$$
也就是说，对于每个正整数 $n$，$E(F \mid N=n)=g(n)$ 其中 $g(n)=n p$。所以，
$$
E(F \mid N)=g(N)=N p 。
$$
示例 6 考虑示例 4。随机变量 $X$ 均匀分布在 $(0,1)$ 上。给定 $X=x$，则 $Y$ 均匀分布在 $(0, x)$ 上。由于 $(0, x)$ 上的均匀分布的期望值为 $x / 2$ 我们有
$$
E(Y \mid X=x)=x / 2 。
$$
因此，
$$
E(Y \mid X)=X / 2 。
$$
我们现在列出条件期望的几个属性。我们省略了证明，感兴趣的读者可以看看 Durrett (1994) 的例子。
P1 对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$，
$$
E[E(X \mid Y)]=E(X) 。
$$
P2 假设 $X$ 和 $Y$ 是两个独立的随机变量。然后，
$$
E(X \mid Y)=E(X)
$$
205
P3 有条件的 cxpcctation 是 lincar。即设$U、V$和$W$ b个变量，$a$和$b$为实数，则$$ E(a U+b V \mid W)=a E(U \mid W) +b E(V \mid W) \text {。 } $$ P4 设 $h$ 为函数，$X$ 和 $Y$ 为随机变量，则 $$ E(h(Y) X \mid Y)=h(Y) E(X \mid Y) \text {。 } $$ $$ E(h(Y) \mid Y)=h(Y) \text {. } $$ 在接下来的两个例子中是无条件的 cxpcctation。
无条件的约束。
例 7 我们回到例 4。回想一下 $E(Y \mid X)=X / 2$。通过 P1，
$$
E[E(Y \mid X)]=E(Y) 。
$$
因此，$E(Y)=E(X / 2)$。使用 $X$ 均匀分布在 $(0,1) 上，E(X)=$ $1 / 2$。所以，
$$
E(Y)=E(X / 2)=1 / 4,
$$
我们现在通过直接计算 $E(Y)$ 来检查属性 P1。我们已经计算过了
统计代考
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编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
