统计代写|Joint and Marginal Densities抽样理论代考
统计代写
To compute a probability involving two random variables $T_{1}$ and $T_{2}$ we need the joint distribution of $\left(T_{1}, T_{2}\right)$. In this chapter we will consider only continuous random variables. The joint distribution will be given by the joint density of the random variables.
- Let $X$ and $Y$ be two continuous random variables. The joint density of the vector $(X, Y)$ is a positive function $f$ such that
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=1
$$
For $a<b$ and $c<d$,
$$
P(a<X<b \text { and } c<Y<d)=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d x d y .
$$
More generally, for a function $g$,
$$
E(g(X, Y))=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y
$$
provided $g \geq 0$ or $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}|g(x, y)| f(x, y) d x d y<+\infty$. - Note that the joint density $f$ is defined everywhere on $\mathbb{R}^{2}$. It is however non-zero only on its support. It will always be important to keep track of the support.
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi, Probability with Statistical Applications,
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16 Continuous Joint Distributions
Example 1 Assume that $(X, Y)$ is uniformly distributed on the disc
What is the joint density of $(X, Y)$ ?
Since the distribution is uniform there is a constant $c$ such that $f(x, y)=c$ for $(x, y)$ in $\mathcal{C}$ and $f(x, y)=0$ elsewhere. That is, the support of $f$ is $\mathcal{C}$. Hence,
Thus, $c=1 / \pi$.
Note that if the random vector $(X, Y)$ has joint density $f$, then for any $a<b$,
$$
\begin{aligned}
P(a<X<b) &=P(a<X<b \text { and }-\infty<Y<+\infty) \
&=\int_{a}^{b} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y d x .
\end{aligned}
$$
Let
$$
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y
$$
then
$$
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x
$$
That is, $f_{X}$ is the density of $X$. We now state this result. - Let $(X, Y)$ be a random vector with density $f$. Then, the densities of $X$ and $Y$ are denoted, respectively, by $f_{X}$ and $f_{Y}$ and are called the marginal densities. They are given by
$$
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \text { and } f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x
$$
Example 2 We consider again the uniform random vector on the unit disc from
为了计算涉及两个随机变量 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 的概率，我们需要 $\left(T_{1}, T_{2}\right)$ 的联合分布。在本章中，我们将只考虑连续随机变量。联合分布将由随机变量的联合密度给出。
- 令 $X$ 和 $Y$ 是两个连续随机变量。向量 $(X, Y)$ 的联合密度是一个正函数 $f$ 使得
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=1
$$
对于 $a<b$ 和 $c<d$，
$$
P(a<X<b \text { and } c<Y<d)=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d x d y 。
$$
更一般地，对于函数 $g$，
$$
E(g(X, Y))=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y
$$
提供 $g \geq 0$ 或 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}|g(x, y)| f(x, y) d x d y<+\infty$。 - 请注意，在 $\mathbb{R}^{2}$ 上的任何地方都定义了联合密度 $f$。然而，仅在它的支持下它才非零。跟踪支持总是很重要的。
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi，概率与统计应用，
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16个连续联合分布
示例 1 假设 $(X, Y)$ 均匀分布在磁盘上
$(X, Y)$ 的联合密度是多少？
因为分布是均匀的，所以有一个常数 $c$ 使得 $f(x, y)=c$ 对于 $\mathcal{C}$ 中的 $(x, y)$ 和 $f(x, y)=0 $别处。即$f$的支持度为$\mathcal{C}$。因此，
因此，$c=1 / \pi$。
请注意，如果随机向量 $(X, Y)$ 具有联合密度 $f$，那么对于任何 $a<b$，
$$
\开始{对齐}
P(a<X<b) &=P(a<X<b \text { 和 }-\infty<Y<+\infty) \
&=\int_{a}^{b} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y d x 。
\end{对齐}
$$
让
$$
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y
$$
然后
$$
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x
$$
也就是说，$f_{X}$ 是 $X$ 的密度。我们现在陈述这个结果。 - 令 $(X, Y)$ 为密度为 $f$ 的随机向量。然后，$X$ 和 $Y$ 的密度分别用 $f_{X}$ 和 $f_{Y}$ 表示，称为边际密度。它们由
$$
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dy \text { 和 } f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{ +\infty} f(x, y) dx
$$
例 2 我们再次考虑单位圆盘上的均匀随机向量
统计代考
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抽样理论（sampling theory）是关于从总体中抽取具有代表性的和适当的样本以得出有效推论的原则和分析技术的一种统计学理论。包括两个主题：（1）样本如何抽取，即抽样方法的问题。如随机抽样、分层抽样、分层等比抽样、系统抽样、群类抽样、有限总体抽样等；（2）样本大小的问题。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。