统计代写|The Expected Number of Birthdays 抽样理论代考
统计代写
Let $B$ be the number of distinct birthdays in a class of 50 students. What is the expectation $E(B)$ ?
The distribution of $B$ is clearly fairly involved. We will compute the expected value without computing the distribution of $B$. To do so we write $B$ as a sum of Bernoulli random variables. Set $X_{1}=1$ if at least one student was born on January 1, otherwise set $X_{1}=0$. Set $X_{2}=1$ if at least one student was born on January 2 , otherwise set $X_{2}=0$. We define $X_{i}$ as above for every one of the 365 days of the calendar. We claim that
$$
B=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{365}
$$
This is so because the r.h.s. counts all the days on which at least one student has a birthday.
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022
219
R. B. Schinazi, Probability with Statistical Applications,
220
20 Sums of Bernoulli Random Variables
Note that the $X_{i}$ are Bernoulli random variables. In order for $X_{1}=0$ we must have that none of the 50 students was born on January 1 . Thus,
$$
P\left(X_{1}=0\right)=\left(\frac{364}{365}\right)^{50}
$$
Hence,
$$
p=P\left(X_{1}=1\right)=1-\left(\frac{364}{365}\right)^{50}
$$
All the $X_{i}$ have the same $p$ (which is also the expected value of a Bernoulli random variable). By the addition rule,
$$
\begin{aligned}
E(B) &=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)+\cdots+E\left(X_{365}\right) \
&=365 p \
&=365\left(1-\left(\frac{364}{365}\right)^{50}\right) .
\end{aligned}
$$
Numerically, we get
$$
E(B)=46.79 .
$$
Observe that the maximum value for $B$ is 50 . We have seen in Chap. 1 that the probability of having two students share the same birthday is about $0.96$. This is also the probability that $B \leq 49$. On the other hand $E(B)$ is close to 50 . This shows that one common birthday is likely but multiple common birthdays are unlikely.
Next we give another application.
Example 1 Assume that 3 people enter independently in an elevator that goes to 5 floors. What is the expected number of stops $S$ that the elevator is going to make?
Instead of computing the distribution of $S$ we break $S$ into a sum of 5 Bernoulli random variables as follows. Let $X_{1}=1$ if at least one person goes to floor 1 , otherwise we set $X_{1}=0$. Likewise let $X_{2}=1$ if at least one person goes to floor otherwise we set $X_{2}=0$. We do the same for the 5 possible choices. We have
$$
S=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{5}
$$
Note that $X_{1}=0$ if none of the 3 people picks floor 1 . Thus,
$$
P\left(X_{1}=0\right)=(4 / 5)^{3}
$$
Hence, $p=P\left(X_{1}=1\right)=1-(4 / 5)^{3}$. All the $X_{i}$ have the same Bernoulli distribution. By the addition rule,
$$
E(S)=5 p=5\left(1-(4 / 5)^{3}\right)=\frac{61}{25}=2.44
$$
$B$ 的分配显然是公平的。我们将在不计算 $B$ 的分布的情况下计算期望值。为此，我们将 $B$ 写为伯努利随机变量的总和。如果至少有一名学生在 1 月 1 日出生，则设置 $X_{1}=1$，否则设置 $X_{1}=0$。如果至少有一名学生在 1 月 2 日出生，则设置 $X_{2}=1$，否则设置 $X_{2}=0$。我们为日历的 365 天中的每一天定义 $X_{i}$。我们声称
$$
B=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{365}
$$
之所以如此，是因为 r.h.s.计算至少一名学生过生日的所有天数。
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022
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R. B. Schinazi，概率与统计应用，
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20 个伯努利随机变量之和
请注意，$X_{i}$ 是伯努利随机变量。为了 $X_{1}=0$ 我们必须有 50 个学生中没有一个是在 1 月 1 日出生的。因此，
$$
P\left(X_{1}=0\right)=\left(\frac{364}{365}\right)^{50}
$$
因此，
$$
p=P\left(X_{1}=1\right)=1-\left(\frac{364}{365}\right)^{50}
$$
所有 $X_{i}$ 都具有相同的 $p$（这也是伯努利随机变量的期望值）。根据加法规则，
$$
\开始{对齐}
E(B) &=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)+\cdots+E\left(X_{365}\right) \
&=365 p \
&=365\left(1-\left(\frac{364}{365}\right)^{50}\right) 。
\end{对齐}
$$
数值上，我们得到
$$
E(B)=46.79。
$$
观察 $B$ 的最大值是 50 。我们已经在第一章看到了。 1 两个学生生日相同的概率约为 0.96 美元。这也是 $B \leq 49$ 的概率。另一方面 $E(B)$ 接近 50 。这表明可能有一个共同的生日，但不太可能有多个共同的生日。
接下来我们给出另一个应用程序。
示例 1 假设 3 人独立进入电梯，该电梯通向 5 层楼。电梯预计停靠的次数是多少 $S$？
我们不计算 $S$ 的分布，而是将 $S$ 分解为 5 个伯努利随机变量的总和，如下所示。如果至少有一个人去 1 楼，则设 $X_{1}=1$，否则我们设置 $X_{1}=0$。同样，如果至少有一个人上楼，则设 $X_{2}=1$，否则我们设置 $X_{2}=0$。我们对 5 种可能的选择做同样的事情。我们有
$$
S=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{5}
$$
注意 $X_{1}=0$ 如果 3 个人都没有选择 floor 1 。因此，
$$
P\left(X_{1}=0\right)=(4 / 5)^{3}
$$
因此，$p=P\left(X_{1}=1\right)=1-(4 / 5)^{3}$。所有 $X_{i}$ 都具有相同的伯努利分布。根据加法规则，
$$
E(S)=5 p=5\left(1-(4 / 5)^{3}\right)=\frac{61}{25}=2.44
$$
统计代考
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编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
