统计代写|The Moments of the Hypergeometric 抽样理论代考
统计代写
We have seen already this distribution in the Combinatorics chapter. We did there a direct computation of the mean and variance of a hypergeometric distribution. In this section we will use Bernoulli random variables to get a quick derivation of these quantities.
First we recall the distribution. Consider an urn with $b$ blue marbles and $r$ red marbles. Assume that we take randomly $n \leq b+r$ marbles from the urn without replacement. Let $H$ be the number of blue marbles in the sample. Then, $H$ is said to have a hypergeometric distribution with parameters $h, r$, and $n$.
3 The Moments of the Hypergeometric
225
For $1 \leq i \leq n$, let $X_{i}=1$ if the $i$-th draw is a blue marble. Let $X_{i}=0$ otherwise. It is easy to see that the total number of blue marbles after $n$ draws is
$$
H=X_{1}+\cdots+X_{n}
$$
By the symmetry of sampling without replacement it turns out that all $X_{i}$ for $i=1,2, \ldots, n$ have the same distribution. Likewise all the vectors $\left(X_{i}, X_{j}\right)$ for $i \neq j$ have the same distribution. The random variables
$$
\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)
$$
are said to be exchangeable. We will not prove these claims but we will check that they are true on some particular examples in the problems.
Note that the $X_{i}$ are Bernoulli random variables and
$$
P\left(X_{1}=1\right)=\frac{b}{r+b}
$$
Since all the $X_{i}$ have the same distribution,
$$
\begin{aligned}
E(H) &=E\left(X_{1}\right)+\cdots+E\left(X_{n}\right) \
&=n E\left(X_{1}\right) \
&=n \frac{b}{r+b} .
\end{aligned}
$$
$$
\text { distribution, }
$$
We now turn to the variance of $H$.
Note that the product $X_{1} X_{2}$ take only values 0 and 1 . The product takes value 1 if and only if $X_{1}=1$ and $X_{2}=1$. Hence,
$$
P\left(X_{1} X_{2}=1\right)=P\left(X_{2}=1 \mid X_{1}=1\right) P\left(X_{1}=1\right)
$$
Given that $X_{1}=1$,
$$
P\left(X_{2}=1 \mid X_{1}=1\right)=\frac{b-1}{r+b-1}
$$
Thus,
$$
P\left(X_{1} X_{2}=1\right)=\frac{b(b-1)}{(r+b)(r+b-1)}
$$
我们已经在组合学一章中看到了这种分布。我们在那里直接计算了超几何分布的均值和方差。在本节中，我们将使用伯努利随机变量来快速推导这些量。
首先我们回顾一下分布。考虑一个装有 $b$ 蓝色弹珠和 $r$ 红色弹珠的瓮。假设我们从瓮中随机取出 $n \leq b+r$ 弹珠而不放回。令 $H$ 为样本中蓝色弹珠的数量。然后，$H$ 被称为具有参数 $h、r$ 和 $n$ 的超几何分布。
3 超几何时刻
225
对于 $1 \leq i \leq n$，如果第 $i$ 次抽签是蓝色弹珠，则令 $X_{i}=1$。否则令 $X_{i}=0$。很容易看出，$n$ 抽奖后蓝色弹珠的总数为
$$
H=X_{1}+\cdots+X_{n}
$$
通过无放回抽样的对称性，结果表明对于 $i=1,2,\ldots,n$ 的所有 $X_{i}$ 具有相同的分布。同样，$i \neq j$ 的所有向量 $\left(X_{i}, X_{j}\right)$ 具有相同的分布。随机变量
$$
\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)
$$
据说可以换。我们不会证明这些主张，但我们会在问题中的一些特定示例上检查它们是否正确。
请注意，$X_{i}$ 是伯努利随机变量，并且
$$
P\left(X_{1}=1\right)=\frac{b}{r+b}
$$
由于所有 $X_{i}$ 具有相同的分布，
$$
\开始{对齐}
E(H) &=E\left(X_{1}\right)+\cdots+E\left(X_{n}\right) \
&=n E\left(X_{1}\right) \
&=n \frac{b}{r+b} 。
\end{对齐}
$$
$$
\text { 分布, }
$$
我们现在转向 $H$ 的方差。
请注意，产品 $X_{1} X_{2}$ 仅采用值 0 和 1 。当且仅当 $X_{1}=1$ 且 $X_{2}=1$ 时，产品取值为 1。因此，
$$
P\left(X_{1} X_{2}=1\right)=P\left(X_{2}=1 \mid X_{1}=1\right) P\left(X_{1}=1\正确的）
$$
鉴于 $X_{1}=1$，
$$
P\left(X_{2}=1 \mid X_{1}=1\right)=\frac{b-1}{r+b-1}
$$
因此，
$$
P\left(X_{1} X_{2}=1\right)=\frac{b(b-1)}{(r+b)(r+b-1)}
$$
统计代考
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相对论代考
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编码理论代写
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
