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数学代考|Geometric and Economic Interpretations运筹学代写

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运筹学代写

Suppose that for the linear program in the standard primal form
\begin{aligned} &\operatorname{minimize} \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \ &\text { subject to } \mathbf{A x}=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}, \end{aligned}
we have the optimal basic feasible solution $\mathbf{x}=\left(\mathbf{x}{\mathbf{B}}, \mathbf{0}\right)$ with corresponding basis B. We shall determine a solution of the dual program \begin{aligned} &\operatorname{maximize} \mathbf{y}^{T} \mathbf{b} \ &\text { subject to } \mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^{T} \end{aligned} in terms of $\mathbf{B}$. We partition $\mathbf{A}$ as $\mathbf{A}=[\mathbf{B}, \mathbf{D}]$, where the primal basic feasible solution $\mathbf{x}{\mathbf{B}}=$ $\mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}$ is optimal. Now define $\mathbf{y}^{T}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{B}^{-1}$, which is a dual basic solution (the intersection point of $m$ constraints) for the dual of inequality constraints. (Again the components subvector $\mathbf{c}{\mathbf{B}}$ are those of $\mathbf{c}$ associated with the columns of submatrix $\mathbf{B}$ according to the same index order.)

If, in addition, $\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^{T}$, then $\mathbf{y}$ is feasible and a basic feasible solution for the dual-an extreme point of the dual feasible region. On the other hand,
$$\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{x}{\mathbf{B}}$$ and thus the value of the dual objective function for this $\mathbf{y}$ is equal to the value of the primal problem. This, in view of Lemma 1, Sect. 3.2, establishes the optimality of $\mathbf{y}$ for the dual. Theorem Let the linear program (3.7) have an optimal basic feasible solution corresponding to the basis $\boldsymbol{B}$. Then the vector $\mathbf{y}$ satisfying $\mathbf{y}^{T}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{B}^{-1}$ is an optimal solution to the dual program (3.8) if it is dual feasible. The optimal values of both problems are equal.
Example 1 (Primal-Dual Illustration) For sake of concreteness we consider the primal problem
$$\begin{array}{lcc} \operatorname{minimize} & 18 x_{1}+12 x_{2}+2 x_{3}+6 x_{4} \ \text { subject to } & 3 x_{1}+\quad x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=2 \ & x_{1}+\quad 3 x_{2}-x_{4}=2 \ & x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, x_{3} \geqslant 0, x_{4} \geqslant 0 \end{array}$$
The columns of $\mathbf{A}$ and $\mathbf{b}$ are represented in requirements space in the left graph of Fig. 3.2. A basic solution represents construction of b with positive weights, $x_{j}$ ‘s, on two of the $\mathbf{a}{j}$ ‘s. Thus, the primal problem is to find weights of the conic combination of $\mathbf{b}$ by these columns such that the weighted sum (by $c{j}$ ‘s) of the

$$\开始{对齐} &\operatorname{最小化} \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \ &\text { 服从 } \mathbf{A x}=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}, \end{对齐}$$

$$\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}=\mathbf {c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{x}{\mathbf{B}}$$ 因此这个 $\mathbf{y}$ 的对偶目标函数的值等于原始问题的值。鉴于引理 1，Sect。 3.2，为对偶建立了 $\mathbf{y}$ 的最优性。 定理 令线性规划 (3.7) 有一个最优的基本可行解，对应于基 $\boldsymbol{B}$。那么向量 $\mathbf{y}$ 满足 $\mathbf{y}^{T}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{B}^{-1}$是对偶程序 (3.8) 的最优解，如果它是对偶可行的。两个问题的最优值相等。

$$\开始{数组}{lcc} \operatorname{最小化} & 18 x_{1}+12 x_{2}+2 x_{3}+6 x_{4} \ \text { 服从 } & 3 x_{1}+\quad x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=2 \ & x_{1}+\quad 3 x_{2}-x_{4}=2 \ & x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, x_{3} \geqslant 0, x_{4} \geqslant 0 \结束{数组}$$
$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{b}$ 列在图 3.2 左图中的需求空间中表示。一个基本解决方案表示在两个 $\mathbf{a}{j}$ 上构建具有正权重 $x{j}$ 的 b。因此，主要问题是通过这些列找到 $\mathbf{b}$ 的圆锥组合的权重，使得

什么是运筹学代写

• 确定需要解决的问题。
• 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
• 使用模型得出问题的解决方案。
• 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
• 实施解决实际问题的方法。

运筹学代写的三个特点

• 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
• 模拟—— 这涉及构建模型，以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
• 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险，做出有效的预测并测试可能的解决方法。