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数学代考|The Ellipsoid Method 运筹学代写

运筹学(Operation)是近代应用数学的一个分支。它把具体的问题进行数学抽象,然后用像是统计、数学模型和算法等方法加以解决,以此来寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。

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运筹学代写

The basic ideas of the ellipsoid method stem from research done in the $1960 \mathrm{~s}$ and 1970 s mainly in the Soviet Union (as it was then called) by others who preceded Khachiyan. In essence, the idea is to enclose the region of interest in ever smaller ellipsoids.

The significant contribution of Khachiyan was to demonstrate that under certain assumptions, the ellipsoid method constitutes a polynomially bounded algorithm for linear programming.

The version of the method discussed here is really aimed at finding a point of a polyhedral set $\Omega$ given by a system of linear inequalities.
$$
\Omega=\left{\mathbf{y} \in E^{m}: \mathbf{y}^{T} \mathbf{a}{j} \leq c{j}, j=1, \ldots n .\right}
$$
Finding a point of $\Omega$ can be thought of as equivalent to solving a linear programming problem.
Two important assumptions are made regarding this problem:
(A1) There is a vector $\mathbf{y}{0} \in E^{m}$ and a scalar $R>0$ such that the closed ball $S\left(\mathbf{y}{0}, R\right)$ with center $\mathbf{y}{0}$ and radius $R$, that is $$ \left{\mathbf{y} \in E^{m}:\left|\mathbf{y}-\mathbf{y}{0}\right| \leq R\right}
$$
contains $\Omega$. If $\Omega$ is nonempty, there is a scalar $r>0$ such that $\Omega$ contains a ball of the form $S(\mathbf{y}, r)$ with center at some $\mathbf{y} \in \Omega$ and radius $r$. (This assumption implies that if $\Omega$ is nonempty, then it has a nonempty interior and its volume is at least $\operatorname{vol}(S(\mathbf{0}, r))$. $)^{2}$
Definition An ellipsoid in $E^{m}$ is a set of the form
$$
E=\left{\mathbf{y} \in E^{m}:(\mathbf{y}-\mathbf{z})^{T} \mathbf{Q}(\mathbf{y}-\mathbf{z}) \leq 1\right},
$$
where $\mathbf{z} \in E^{m}$ is a given point (called the center) and $\mathbf{Q}$ is a positive definite matrix (see Sect. A.4 of Appendix A) of dimension $m \times m$. This ellipsoid is denoted $E(\mathbf{z}, \mathbf{Q})$.
The unit sphere $S(\mathbf{0}, 1)$ centered at the origin $\mathbf{0}$ is a special ellipsoid with $\mathbf{Q}=\mathbf{I}$, the identity matrix.

The axes of a general ellipsoid are the eigenvectors of $\mathbf{Q}$ and the lengths of the axes are $\lambda_{1}^{-1 / 2}, \lambda_{2}^{-1 / 2}, \ldots, \lambda_{m}^{-1 / 2}$, where the $\lambda_{i}$ ‘s are the corresponding eigenvalues. It can be shown that the volume of an ellipsoid is
$$
\operatorname{vol}(E)=\operatorname{vol}(S(\mathbf{0}, 1)) \Pi_{i=1}^{m} \lambda_{i}^{-1 / 2}=\operatorname{vol}(S(\mathbf{0}, 1)) \operatorname{det}\left(\mathbf{Q}^{-1 / 2}\right) .
$$

数学代考|Operations Research运筹学代写

椭球方法的基本思想源于 1960 年和 1970 年代主要在苏联(当时被称为)由 Khachiyan 之前的其他人所做的研究。本质上,这个想法是将感兴趣的区域包围在更小的椭圆体中。

Khachiyan 的重要贡献是证明在某些假设下,椭球方法构成了线性规划的多项式有界算法。

这里讨论的方法的版本实际上旨在找到由线性不等式系统给出的多面体集合 $\Omega$ 的一个点。
$$
\Omega=\left{\mathbf{y} \in E^{m}: \mathbf{y}^{T} \mathbf{a}{j} \leq c{j}, j=1, \ ldots n .\right}
$$
找到一个$\Omega$ 的点可以被认为等同于解决一个线性规划问题。
关于这个问题有两个重要的假设:
(A1) 有一个向量 $\mathbf{y}{0} \in E^{m}$ 和一个标量 $R>0$ 使得封闭球 $S\left(\mathbf{y}{ 0},R\right)$,中心为 $\mathbf{y}{0}$,半径为 $R$,即 $$ \left{\mathbf{y} \in E^{m}:\left|\mathbf{y}-\mathbf{y}{0}\right| \leq R\右}
$$
包含$\Omega$。如果 $\Omega$ 非空,则存在一个标量 $r>0$ 使得 $\Omega$ 包含一个形如 $S(\mathbf{y}, r)$ 的球,其中心在某个 $\mathbf{y } \in \Omega$ 和半径 $r$。 (这个假设意味着如果 $\Omega$ 是非空的,那么它有一个非空的内部并且它的体积至少是 $\operatorname{vol}(S(\mathbf{0}, r))$.$)^{2 }$
定义 $E^{m}$ 中的椭球是一组形式的
$$
E=\left{\mathbf{y} \in E^{m}:(\mathbf{y}-\mathbf{z})^{T} \mathbf{Q}(\mathbf{y}-\mathbf {z}) \leq 1\right},
$$
其中 $\mathbf{z} \in E^{m}$ 是给定的点(称为中心),$\mathbf{Q}$ 是维度的正定矩阵(参见附录 A 的第 A.4 节) $m\times m$。这个椭球记为$E(\mathbf{z}, \mathbf{Q})$。
以原点 $\mathbf{0}$ 为中心的单位球体 $S(\mathbf{0}, 1)$ 是一个特殊的椭球体,其单位矩阵 $\mathbf{Q}=\mathbf{I}$。

一般椭球的轴是 $\mathbf{Q}$ 的特征向量,轴的长度是 $\lambda_{1}^{-1 / 2}, \lambda_{2}^{-1 / 2} , \ldots, \lambda_{m}^{-1 / 2}$,其中 $\lambda_{i}$ 是对应的特征值。可以证明,椭球的体积为
$$
\operatorname{vol}(E)=\operatorname{vol}(S(\mathbf{0}, 1)) \Pi_{i=1}^{m} \lambda_{i}^{-1 / 2}= \operatorname{vol}(S(\mathbf{0}, 1)) \operatorname{det}\left(\mathbf{Q}^{-1 / 2}\right) 。
$$

运筹学代考

数学代考|Operations Research运筹学代写

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实分析代考

什么是运筹学代写

运筹学(OR)是一种解决问题和决策的分析方法,在组织管理中很有用。在运筹学中,问题被分解为基本组成部分,然后通过数学分析按定义的步骤解决。

运筹学的过程大致可以分为以下几个步骤:

  • 确定需要解决的问题。
  • 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
  • 使用模型得出问题的解决方案。
  • 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
  • 实施解决实际问题的方法。

与运筹学交叉的学科包括统计分析、管理科学、博弈论、优化理论、人工智能和复杂网络分析。所有这些学科的目标都是解决某一个现实中出现的复杂问题或者用数学的方法为决策提供指导。 运筹学的概念是在二战期间由参与战争的数学家们提出的。二战后,他们意识到在运筹学中使用的技术也可以被应用于解决商业、政府和社会中的问题。

运筹学代写的三个特点

所有运筹学解决实际问题的过程中都具有三个主要特征:

  • 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
  • 模拟—— 这涉及构建模型,以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
  • 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险,做出有效的预测并测试可能的解决方法。

运筹学领域提供了比普通软件和数据分析工具更强大的决策方法。此外,运筹学可以根据特定的业务流程或用例进行定制,以确定哪些技术最适合解决问题。

运筹学可以应用于各种活动,比如:计划和时间管理(Planning and Time Management),城乡规划(Urban and Rural Planning),企业资源计划(ERP)与供应链管理(Supply Chain Management)等等。 如有代写代考需求,欢迎同学们联系Assignmentexpert™,我们期待为你服务!

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