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数学代考|The Simplex Method Is Not Polynomial-Time 运筹学代写

运筹学(Operation)是近代应用数学的一个分支。它把具体的问题进行数学抽象,然后用像是统计、数学模型和算法等方法加以解决,以此来寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。

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运筹学代写

When the simplex method is used to solve a linear program in standard form with coefficient matrix $\mathbf{A} \in E^{m \times n}, \mathbf{b} \in E^{m}$ and $\mathbf{c} \in E^{n}$, the number of pivot steps to solve the problem starting from a basic feasible solution is typically a small multiple of $m$ : usually between $2 m$ and $3 m$. In fact, Dantzig observed that for problems with $m \leq 50$ and $n \leq 200$ the number of iterations is ordinarily less than $1.5 m$.

At one time researchers believed-and attempted to prove-that the simplex algorithm (or some variant thereof) always requires a number of iterations that is bounded by a polynomial expression in the problem size. That was until Victor Klee and George Minty exhibited a class of linear programs each of which requires an
$5.2$ * The Simplex Method Is Not Polynomial-Time
133
One form of the Klee-Minty example is
$\operatorname{maximize} \sum_{j=1}^{n} 10^{n-j} x_{j}$
subject to $2 \sum_{j=1}^{i-1} 10^{i-j} x_{j}+x_{i} \leq 100^{i-1} i=1, \ldots, n$
$x_{j} \geq 0 \quad j=1, \ldots, n .$
The problem above is easily cast as a linear program in standard form.
A specific case is that for $n=3$, giving
$$
\text { maximize } 100 x_{1}+10 x_{2}+x_{3}
$$

One form of the Klee-Minty example is
$$
\begin{aligned}
&\text { maximize } \sum_{j=1}^{n} 10^{n-j} x_{j} \
&\text { subject to } 2 \sum_{j=1}^{i-1} 10^{i-j} x_{j}+x_{i} \leq 100^{i-1} i=1, \ldots, n \
&x_{j} \geq 0 \quad j=1, \ldots, n
\end{aligned}
$$
The problem above is easily cast as a linear program in standard form.
A specific case is that for $n=3$, giving
maximize $100 x_{1}+10 x_{2}+x_{3}$
$200 x_{1}+20 x_{2}+x_{3} \leq 10,000$
$x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, x_{3} \geqslant 0 .$
In this case, we have three constraints and three variables (along with their nonnegativity constraints). After adding slack variables, the problem is in standard form. The system has $m=3$ equations and $n=6$ nonnegative variables. It can be verified that it takes $2^{3}-1=7$ pivot steps to solve the problem with the simplex method when at each step the pivot column is chosen to be the one with the largest (because this a maximization problem) reduced cost. (See Exercise 1.)

The general problem of the class (1) takes $2^{n}-1$ pivot steps and this is in fact the number of vertices minus one (which is the starting vertex). To get an idea of how bad this can be, consider the case where $n=50$. We have $2^{50}-1 \approx 10^{15}$. In a year with 365 days, there are approximately $3 \times 10^{7} \mathrm{~s}$. If a computer ran continuously, performing a million pivots of the simplex algorithm per second, it would take approximately
$$
\frac{10^{15}}{3 \times 10^{7} \times 10^{6}} \approx 33 \text { years }
$$
to solve a problem of this class using the greedy pivot selection rule.
Although it is not polynomial in the worst case, the simplex method remains one of major solvers for linear programming. In fact, the method has been recently proved to be (strongly) polynomial for solving the Markov Decision Process with any fixed discount rate.

数学代考|Operations Research运筹学代写

当使用单纯形法求解具有系数矩阵 $\mathbf{A} \in E^{m \times n}, \mathbf{b} \in E^{m}$ 和 $\ mathbf{c} \in E^{n}$,从基本可行解开始解决问题的枢轴步骤数通常是 $m$ 的小倍数:通常在 $2 m$ 和 $3 m$ 之间。事实上,Dantzig 观察到对于 $m \leq 50$ 和 $n \leq 200$ 的问题,迭代次数通常少于 $1.5 m$。

曾几何时,研究人员相信并试图证明单纯形算法(或其某种变体)总是需要多次迭代,这些迭代受问题大小中的多项式表达式的限制。直到 Victor Klee 和 George Minty 展示了一类线性程序,每个程序都需要一个
$5.2$ * 单纯形法不是多项式时间
133
Klee-Minty 示例的一种形式是
$\operatorname{最大化} \sum_{j=1}^{n} 10^{n-j} x_{j}$
服从 $2 \sum_{j=1}^{i-1} 10^{i-j} x_{j}+x_{i} \leq 100^{i-1} i=1, \ldots, n$
$x_{j} \geq 0 \quad j=1, \ldots, n .$
上面的问题很容易被转换为标准形式的线性程序。
一个特定的情况是对于 $n=3$,给出
$$
\text { 最大化 } 100 x_{1}+10 x_{2}+x_{3}
$$

Klee-Minty 示例的一种形式是
$$
\开始{对齐}
&\text { 最大化 } \sum_{j=1}^{n} 10^{n-j} x_{j} \
&\text { 服从 } 2 \sum_{j=1}^{i-1} 10^{ij} x_{j}+x_{i} \leq 100^{i-1} i=1, \ldots , n \
&x_{j} \geq 0 \quad j=1, \ldots, n
\end{对齐}
$$
上面的问题很容易被转换为标准形式的线性程序。
一个特定的情况是对于 $n=3$,给出
最大化 $100 x_{1}+10 x_{2}+x_{3}$
$200 x_{1}+20 x_{2}+x_{3} \leq 10,000$
$x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, x_{3} \geqslant 0 .$
在这种情况下,我们有三个约束和三个变量(以及它们的非负约束)。添加松弛变量后,问题为标准形式。该系统有 $m=3$ 个方程和 $n=6$ 个非负变量。可以验证,当在每个步骤中选择枢轴列是最大的列时,使用单纯形法解决问题需要 $2^{3}-1=7$ 枢轴步骤(因为这是一个最大化问题)降低成本。 (见练习 1。)

类 (1) 的一般问题需要 $2^{n}-1$ 个枢轴步骤,这实际上是顶点数减一(即起始顶点)。要了解这可能有多糟糕,请考虑 $n=50$ 的情况。我们有 $2^{50}-1 \大约 10^{15}$。一年有 365 天,大约有 $3 \times 10^{7} \mathrm{~s}$。如果一台计算机连续运行,每秒执行一百万次单纯形算法的枢轴,大约需要
$$
\frac{10^{15}}{3 \times 10^{7} \times 10^{6}} \大约 33 \text { 年 }
$$
使用贪心枢轴选择规则来解决这个类的问题。
尽管在最坏的情况下它不是多项式,但单纯形法仍然是线性规划的主要求解器之一。事实上,该方法最近已被证明是(强)多项式求解具有任何固定贴现率的马尔可夫决策过程。

运筹学代考

数学代考|Operations Research运筹学代写

运筹学代写

网络流代写

统计推断代写

实分析代考

什么是运筹学代写

运筹学(OR)是一种解决问题和决策的分析方法,在组织管理中很有用。在运筹学中,问题被分解为基本组成部分,然后通过数学分析按定义的步骤解决。

运筹学的过程大致可以分为以下几个步骤:

  • 确定需要解决的问题。
  • 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
  • 使用模型得出问题的解决方案。
  • 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
  • 实施解决实际问题的方法。

与运筹学交叉的学科包括统计分析、管理科学、博弈论、优化理论、人工智能和复杂网络分析。所有这些学科的目标都是解决某一个现实中出现的复杂问题或者用数学的方法为决策提供指导。 运筹学的概念是在二战期间由参与战争的数学家们提出的。二战后,他们意识到在运筹学中使用的技术也可以被应用于解决商业、政府和社会中的问题。

运筹学代写的三个特点

所有运筹学解决实际问题的过程中都具有三个主要特征:

  • 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
  • 模拟—— 这涉及构建模型,以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
  • 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险,做出有效的预测并测试可能的解决方法。

运筹学领域提供了比普通软件和数据分析工具更强大的决策方法。此外,运筹学可以根据特定的业务流程或用例进行定制,以确定哪些技术最适合解决问题。

运筹学可以应用于各种活动,比如:计划和时间管理(Planning and Time Management),城乡规划(Urban and Rural Planning),企业资源计划(ERP)与供应链管理(Supply Chain Management)等等。 如有代写代考需求,欢迎同学们联系Assignmentexpert™,我们期待为你服务!

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