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Payoffs for players are summarized in payoff vectors:
DEFINITION XV.2 (PAYOFF VECTOR). For any finite and nonempty player set $N={1, \ldots, n}$, a payoff vector
$$
x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}
$$
specifies payoffs for all players $i=1, \ldots, n$.
It is possible to sum coalition functions and it is possible to sum payoff vectors. Summation of vectors is easy – just sum each entry individually.
EXERCISE XV.3. Determine the sum of the vectors
$$
\left(\begin{array}{l}
1 \
3 \
6
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
2 \
5 \
1
\end{array}\right) !
$$
If we have three players, it is obvious that the first entry belongs to player 1 , the second to player 2 etc. Note the difference between payoffvector summation concerning several vectors,
$$
x+y=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2} \
x_{n}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
y_{1} \
y_{2} \
y_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
x_{1}+y_{1} \
x_{2}+y_{2} \
x_{n}+y_{n}
\end{array}\right)
$$
and payoff summation for one given vector,
$$
\sum_{i=1}^{n} x_{i}
$$
玩家的收益总结在收益向量中：
定义 XV.2 (PAYOFF VECTOR)。对于任何有限且非空的玩家集ñ=1,…,n, 一个支付向量
X=(X1,…,Xn)∈Rn
指定所有玩家的收益一世=1,…,n.
可以对联合函数求和，也可以对支付向量求和。向量求和很容易——只需单独对每个条目求和。
练习 XV.3。确定向量的总和
(1 3 6)+(2 5 1)!
如果我们有三个玩家，很明显第一个条目属于玩家 1，第二个属于玩家 2，依此类推。注意关于几个向量的 payoffvector summation 之间的区别，
X+和=(X1 X2 Xn)+(和1 和2 和n)=(X1+和1 X2+和2 Xn+和n)
和一个给定向量的收益总和，
∑一世=1nX一世
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