微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 微分学
Theorem 6.2.1 Let $f$ be a $2 \pi$-periodic function which is integrable on $[-\pi, \pi]$, and for $k \in \mathbb{N}$, let
$$
f_{k}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{k}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)
$$
where $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ and $b_{1}, b_{2}, \ldots$ are the Fourier coefficients of $f$. Then
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2} d x \leq \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2} d x
$$
for any trigonometric polynomial $g$ of the form
$$
g(x)=c_{0}+\sum_{n=1}^{k}\left(c_{n} \cos n x+d_{n} \sin n x\right)
$$
with $c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{k}, d_{1}, \ldots, d_{k}$ are in $\mathbb{R}$.
Proof Let $g(x)=c_{0}+\sum_{n=1}^{k}\left(c_{n} \cos n x+d_{n} \sin n x\right)$ for some numbers $c_{0}, c_{1}$, $\ldots, c_{k}, d_{1}, \ldots, d_{k}$ in $\mathbb{R}$. Then
$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2} \mathrm{~d} x=& \int_{-\pi}^{\pi}\left|\left(f(x)-f_{k}(x)\right)+\left(f_{k}(x)-g(x)\right)\right|^{2} \mathrm{~d} x \
=& \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2}+\int_{-\pi}^{\pi}\left|f_{k}(x)-g(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \
&+2 \int_{-\pi}^{\pi}\left(f(x)-f_{k}(x)\right)\left(f_{k}(x)-g(x)\right) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
Note that
$$
\left.f_{k}(x)-g(x)=\frac{a_{0}}{2}-c_{0}+\sum_{n=1}^{k}\left[\left(a_{n}-c_{n}\right) \cos n x+\left(b_{n}-d_{n}\right) \sin n x\right)\right]
$$
6 Fourier Series
320
Multiplying by $f(x)-f_{k}(x)$ and integrating, and observing the facts that $\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-$ $\left.f_{k}(x)\right) \mathrm{d}=0$ and
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left(f(x)-f_{k}(x)\right) \cos n x \mathrm{~d} x=0, \quad \int_{-\pi}^{\pi}\left(f(x)-f_{k}(x)\right) \sin n x \mathrm{~d} x=0
$$
for $n=1, \ldots, k$, we obtain
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left(f(x)-f_{k}(x)\right)\left(f_{k}(x)-g(x)\right) \mathrm{d} x=0 .
$$
$$
Hence, we have
$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2} \mathrm{~d} x &=\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2}+\int_{-\pi}^{\pi}\left|f_{k}(x)-g(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \
& \geq \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2}
\end{aligned}
$$
Thus, the proof is complete.
The conclusion in the above theorem can also be written as
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x=\inf {g \in \mathcal{T}{k}} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2} \mathrm{~d} x
$$
where $\mathcal{T}{k}$ is the set of all trigonometric polynomials of degree at most $k$. In fact, in advanced courses (see, e.g., Rudin [13] or Nair [8], one learns that $$ \int{-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \rightarrow 0 \quad \text { as } \quad k \rightarrow \infty
$$
定理 6.2.1 令F做一个2圆周率- 可积的周期函数[−圆周率,圆周率]，并且对于到∈ñ， 让
F到(X)=一种02+∑n=1到(一种n某物nX+bn没有nX)
在哪里一种0,一种1,一种2,…和b1,b2,…是傅里叶系数F. 然后
∫−圆周率圆周率|F(X)−F到(X)|2dX≤∫−圆周率圆周率|F(X)−G(X)|2dX
对于任何三角多项式G形式的
G(X)=C0+∑n=1到(Cn某物nX+dn没有nX)
和C0,C1,…,C到,d1,…,d到在R.
证明让G(X)=C0+∑n=1到(Cn某物nX+dn没有nX)对于一些数字C0,C1,…,C到,d1,…,d到在R. 然后
∫−圆周率圆周率|F(X)−G(X)|2 dX=∫−圆周率圆周率|(F(X)−F到(X))+(F到(X)−G(X))|2 dX =∫−圆周率圆周率|F(X)−F到(X)|2+∫−圆周率圆周率|F到(X)−G(X)|2 dX +2∫−圆周率圆周率(F(X)−F到(X))(F到(X)−G(X))dX
注意
F到(X)−G(X)=一种02−C0+∑n=1到[(一种n−Cn)某物nX+(bn−dn)没有nX)]
6 傅里叶级数
320
乘以F(X)−F到(X)并整合并观察以下事实∫−圆周率圆周率(F(X)− F到(X))d=0和
∫−圆周率圆周率(F(X)−F到(X))某物nX dX=0,∫−圆周率圆周率(F(X)−F到(X))没有nX dX=0
为了n=1,…,到， 我们获得
∫−圆周率圆周率(F(X)−F到(X))(F到(X)−G(X))dX=0.
$$
因此，我们有
∫−圆周率圆周率|F(X)−G(X)|2 dX=∫−圆周率圆周率|F(X)−F到(X)|2+∫−圆周率圆周率|F到(X)−G(X)|2 dX ≥∫−圆周率圆周率|F(X)−F到(X)|2
至此，证明完成。
上述定理的结论也可以写成
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2} \mathrm{ ~d} x=\inf {g \in \mathcal{T} {k}} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2} \mathrm{ ~d} x
$$
其中 $\mathcal{T} {k}一世s吨H和s和吨○F一种一世一世吨r一世G○n○米和吨r一世Cp○一世和n○米一世一种一世s○Fd和Gr和和一种吨米○s吨到.一世nF一种C吨,一世n一种dv一种nC和dC○你rs和s(s和和,和.G.,R你d一世n[13]○rñ一种一世r[8],○n和一世和一种rns吨H一种吨$ \int {-\pi}^{\pi}\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \rightarrow 0 \quad \text {作为 } \quad k \rightarrow \infty
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