微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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证明 使用序列的替代证明 根据定理 2.1.7，足以证明对于任何序列(Xn)在DG∖一种收敛到一种， 序列(G(F(Xn)))收敛到C. 所以让(Xn)在DF∖0这样Xn→一种. 由于 $\lim {x \rightarrow a} f(x)=b,b和吨H和○r和米2.1.6,f\left(x {n}\right) \rightarrow b.一世和吨y_{n}=f\left(x_{n}\right), n \in \mathbb{N}.乙和吨H和一种ss你米p吨一世○n,y_{n} \inD_{g} \反斜杠{b}F○r一种一世一世n \in \mathbb{N}.小号一世nC和\lim {y \rightarrow b} g(y)=c一种ndy {n} \rightarrow b,一种G一种一世nb和吨H和○r和米2.1.6,g\left(y_{n}\right) \rightarrow c.吨H你s在和○b吨一种一世n和dg\left(f\left(x_{n}\right)\right) \rightarrow c$，完成证明。
如果F(X)是一个多项式，比如说F(X)=一种0+一种1X+…+一种到X到，那么对于任何一种∈R,
$$
\lim {x \rightarrow a} f(x)=f(a) 。$$ 这从定理 2.1.8 中的结果得出，利用了 $\lim {x \rightarrow a} x=a的事实.一世和吨f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}F○rx \in D=\mathbb{R} \反斜杠{2}.吨H和n$
\lim {x \rightarrow 2} f(x)=4 。ñ○吨和吨H一种吨,F○r$X≠2$,f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=(x+2) $$ 因此，$\lim {x \rightarrow 2} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2}(x+2)=4$。
一个序列(一种n)据说是一个柯西序列 3 如果对于每个e>0， 那里存在ñ∈ñ这样
|一种n−一种米|<e∀n,米≥ñ我们已经在备注 1.1.15 中观察到，如果(一种n)收敛，则它不需要满足定理 1.1.14 中的假设。但是，我们有以下定理。定理 1.1.15 每个收敛序列都是一个柯西序列。3奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789 年 8 月 21 日 – 1857 年 5 月 23 日）是一位法国数学家，他对微积分做出了许多贡献，特别是在其严谨的基础方面。1.1实数序列 41 证明假设(一种n)收敛到一种. 让e>0被给予。然后我们知道存在ñ∈ñ这样|一种n−一种|<e/2对所有人n≥ñ. 因此，我们有
|一种n−一种米|≤|一种n−一种|+|一种−一种米|<e∀n,米≥ñ
这样就完成了证明。
现在，我们证明定理 1.1.15 的逆向也是正确的。证明的思想类似于定理 1.1.14 证明中使用的思想，即我们首先证明(一种n)是有界序列，因此由 Bolzano-Weierstrass 定理 (Theorem1.1.13),(一种n)有一个收敛到某个子序列一种，然后证明(一种n)自身收敛到一种.
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