微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 微分学
微积分代考calculus代写|Convergence and Divergence of Series
Example 1.2.2 Consider the three series given in Example 1.2.1, i.e.,
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
$$
Note that the partial sums of these series, say $\left(s_{n}^{(1)}\right),\left(s_{n}^{(2)}\right),\left(s_{n}^{(3)}\right)$ with
$$
s_{n}^{(1)}:=\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{10^{k}}, \quad s_{n}^{(2)}:=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}, \quad s_{n}^{(3)}:=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}},
$$
are the sequences considered in Examples 1.1.5, 1.1.19,1.1.24, respectively, and we have seen that $\left(s_{n}^{(1)}\right)$ and $\left(s_{n}^{(3)}\right)$ converge, whereas $\left(s_{n}^{(2)}\right)$ diverges. Thus, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}$ and $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ are convergent series, whereas $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ is a divergent series.
Example 1.2.3 Consider the geometric series
$$
1+q+q^{2}+\cdots
$$
for $q \in \mathbb{R}$. We show that this series converges if and only if $|q|<1$ :
Note that
$$
s_{n}=1+q+\cdots+q^{n-1}= \begin{cases}n & \text { if } \quad q=1 \ \left(1-q^{n}\right) /(1-q) & \text { if } \quad q \neq 1\end{cases}
$$
微积分代考CALCULUS代写|Some Tests for Convergence
Suppose $\left(a_{n}\right)$ and $\left(b_{n}\right)$ are sequences of positive terms.
(i) Suppose $\ell:=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}$ exists.
(a) If $\ell>0$, then $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converges $\Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converges.
(b) If $\ell=0$, then $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converges $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converges.
(ii) Suppose $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}=\infty$. Then $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converges $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converges.
Proof (i) Assume that $\ell:=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}$ exists, i.e., $0 \leq \ell<\infty$. (a) Suppose $\ell>0$. Then for any $0<\varepsilon<\ell$ there exists $n \in \mathbb{N}$ such that $$ 0 \leq \ell-\varepsilon<\frac{a_{n}}{b_{n}}<\ell+\varepsilon \quad \forall n \geq N $$ Thus, $(\ell-\varepsilon) b_{n}0$ be given. Then, there exists $n \in \mathbb{N}$ such that $-\varepsilon<\frac{a_{n}}{b_{n}}<\varepsilon$ for all $n \geq N$. In particular,
$$
a_{n}<\varepsilon b_{n} \quad \forall n \geq N
$$
Again, by comparison test (Theorem 1.2.6), convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ implies the convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$.
(ii) Assume that $\frac{a_{n}}{b_{n}} \rightarrow \infty$. Then there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\frac{a_{n}}{b_{n}} \geq 1$ for all $n \geq N$, i.e.,
$$
b_{n} \leq a_{n} \quad \forall n \geq N
$$
Hence, comparison test can be applied in this case as well to obtain the required result.
微积分代考CALCULUS代写|Alternating Series
Definition 1.2.3 A series of the form $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}$, where $\left(u_{n}\right)$ is a sequence of positive terms, is called an alternating series.
We have seen in Example 1.2.7 that the alternating series
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots
$$
is convergent. Note that the series
$$
1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-2}-\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{4 n}+\cdots
$$
is not an alternating series. As you can see, in the latter case, though the series in not an alternating series, it is of the form
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_{n}+(-1)^{n+1} v_{n}\right]
$$
with
$$
u_{n}=\frac{1}{2 n-1}, \quad v_{n}=\frac{1}{2 n}
$$
We know from the results in Example 1.2.8 that the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}$ and $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} v_{n}$ are convergent. Hence, we can assert the convergence of the original series $\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_{n}+(-1)^{n+1} v_{n}\right]$.
The next theorem, due to Leibnitz, ${ }^{5}$ provides such a sufficient condition for the convergence of alternating series.
微积分代考CALCULUS代写|CONVERGENCE AND DIVERGENCE OF SERIES
示例 1.2.2 考虑示例 1.2.1 中给出的三个系列，即
∑n=1∞310n,∑n=1∞1n,∑n=1∞1n2
请注意，这些系列的部分总和，比如(sn(1)),(sn(2)),(sn(3))和
sn(1):=∑到=1n310到,sn(2):=∑到=1n1到,sn(3):=∑到=1n1到2,
分别是示例 1.1.5、1.1.19、1.1.24 中考虑的序列，我们已经看到(sn(1))和(sn(3))收敛，而(sn(2))分歧。因此，∑n=1∞310n和∑n=1∞1n2是收敛级数，而∑n=1∞1n是一个发散的系列。
例 1.2.3 考虑几何级数
1+q+q2+⋯
为了q∈R. 我们证明这个级数收敛当且仅当|q|<1:
请注意
sn=1+q+⋯+qn−1={n 如果 q=1 (1−qn)/(1−q) 如果 q≠1
微积分代考CALCULUS代写|SOME TESTS FOR CONVERGENCE
认为(一种n)和(bn)是正项的序列。
(i) 假设 $\ell:=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a {n}}{b_{n}}和X一世s吨s.(一种)一世F\ell>0,吨H和n\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}C○nv和rG和s\Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}C○nv和rG和s.(b)一世F\ 埃尔 = 0,吨H和n\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}C○nv和rG和s\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}C○nv和rG和s.(一世一世)小号你pp○s和\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a {n}}{b_{n}}=\infty.吨H和n\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}C○nv和rG和s\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}C○nv和rG和s.磷r○○F(一世)一种ss你米和吨H一种吨\ ell: = \ lim {n \ rightarrow \ infty} \ frac {a {n}} {b_ {n}}和X一世s吨s,一世.和.,0\leq\ell<\infty.(一种)小号你pp○s和\ell>0.吨H和nF○r一种n和0<\伐普西隆<\ell吨H和r和和X一世s吨sn \in \mathbb{N}s你CH吨H一种吨0≤ℓ−e<一种nbn<ℓ+e∀n≥ñ吨H你s,(\ell-\varepsilon) b_{n}0b和G一世v和n.吨H和n,吨H和r和和X一世s吨sn \in \mathbb{N}s你CH吨H一种吨-\varepsilon<\frac{a_{n}}{b_{n}}<\varepsilonF○r一种一世一世n \geq 女性.一世np一种r吨一世C你一世一种r,一种n<ebn∀n≥ñ一种G一种一世n,b和C○米p一种r一世s○n吨和s吨(吨H和○r和米1.2.6),C○nv和rG和nC和○F\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}一世米p一世一世和s吨H和C○nv和rG和nC和○F\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}.(一世一世)一种ss你米和吨H一种吨\frac{a_{n}}{b_{n}} \rightarrow \infty.吨H和n吨H和r和和X一世s吨sN \in \mathbb{N}s你CH吨H一种吨\frac{a_{n}}{b_{n}} \geq 1F○r一种一世一世n \geq 女性,一世.和.,bn≤一种n∀n≥ñ$
因此，在这种情况下也可以应用比较测试以获得所需的结果。
微积分代考CALCULUS代写|ALTERNATING SERIES
定义 1.2.3 一系列形式∑n=1∞(−1)n+1你n， 在哪里(你n)是正项的序列，称为交替序列。
我们已经在示例 1.2.7 中看到，交替序列
1−12+13−14+15+⋯+(−1)n+1n+⋯
是收敛的。请注意，该系列
1+12−13−14+⋯+14n−3+14n−2−14n−1−14n+⋯
不是交替序列。如您所见，在后一种情况下，虽然该系列不是交替系列，但它的形式是
∑n=1∞[(−1)n+1你n+(−1)n+1vn]
和
你n=12n−1,vn=12n
从示例 1.2.8 的结果我们知道，交替序列∑n=1∞(−1)n+1你n和∑n=1∞(−1)n+1vn是收敛的。因此，我们可以断言原始序列的收敛性∑n=1∞[(−1)n+1你n+(−1)n+1vn].
下一个定理，由于莱布尼茨，5为交替级数的收敛提供了这样一个充分条件。
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