如果你也在 怎样金融数学Financial Mathematics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。金融数学Financial Mathematics是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融）。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上，投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业（如能源、制造业）也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性，在监管方面也变得越来越重要。
定量金融作为经济学的一个子领域，关注资产和金融工具的估值以及资源的配置。几个世纪的经验产生了关于经济运行方式和我们评估资产的方式的基本理论。模型描述了基本变量之间的关系，如资产价格、市场运动和利率。这些数学工具使我们能够得出原本难以发现或从直觉上无法立即看出的结论。模型应用的一个例子是银行的压力测试。 特别是在现代计算技术的帮助下，我们可以存储大量的数据并同时对许多变量进行建模，从而有能力对相当大和复杂的系统进行建模。因此，科学计算的技术，如数值分析、蒙特卡洛模拟和优化是金融数学的重要组成部分。
任何科学的很大一部分都是在对研究对象的基本了解的基础上建立可检验的假设，并通过可重复的研究来证明或反驳这些假设的能力。从这个角度来看，数学是代表理论的语言，并提供测试其有效性的工具。例如，在布莱克、斯科尔斯和默顿的期权定价理论中，提出了一个股票价格变动的模型，结合无风险投资将获得无风险收益率的理论，研究者们推断出可以给期权分配一个价值。
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经济代写
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In this section, we discuss fractional Brownian motion (fBm) and its properties. The existence of fBm can be proved through a centered Gaussian process. More precisely, by defining an appropriate covariance function for the Gaussian process one can prove the existence of $\mathrm{fBm}$.
Theorem 3.1 Let $H>0$ be a real parameter. Then, there exists a continuous Gaussian process $B^{H}=\left(B_{t}^{H}\right){t \geq 0}$ with covariance function given by $$ \Gamma{H}(s, t)=\frac{1}{2}\left(s^{2 H}+t^{2 H}-|t-s|^{2 H}\right), \quad s, t \geq 0
$$
if and only if $H \leq 1$.
Proof See Nourdin (2012).
The parameter $H$ is called Hurst parameter. It is related to the long-range dependency of the time series. More specifically, by increasing the lag between pairs, the autocorrelation function of the time series decreases.
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Definition 3.1 Let $H \in(0,1]$. A $\mathrm{fBm}$ with Hurst parameter $H$ is a centered continuous Gaussian process $B^{H}=\left(B_{t}^{H}\right){t \geq 0}$ with covariance function $$ E\left[B{t}^{H} B_{s}^{H}\right]=\frac{1}{2}\left(s^{2 H}+t^{2 H}-|t-s|^{2 H}\right) .
$$
One can show that when $H=\frac{1}{2}$, then the fBm is just classical Brownian motion. Furthermore, when $H \geq \frac{1}{2}$, then the covariance function is given by
$$
E\left[B_{t}^{H} B_{s}^{H}\right]=H(2 H-1) \int_{0}^{t} d u \int_{0}^{s} d v|v-u|^{2 H-2}
$$
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Figure $3.1$ shows different simulated paths for fBm. One can see that when the Hurst parameter is near zero, there is less fluctuation. In contrast, for small values for the Hurst parameter there are more fluctuations. When the Hurst parameter is $0.5$, the sample paths for $\mathrm{fBm}$ are trajectories of Brownian motion.
There are three different integral representations for fBm: time representation, spectral representation, and Volterra process representation. ${ }^{4}$
The time representation of the fBm is given by
$$
B_{t}^{H}=\frac{1}{C_{H}}\left(\int_{-\infty}^{0}\left((t-u)^{H-\frac{1}{2}}-(-u)^{H-\frac{1}{2}}\right) d B_{u}+\int_{0}^{t}(t-u)^{H-\frac{1}{2}} d B_{u}\right)
$$
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在本节中，我们讨论分数布朗运动F乙米及其属性。fBm 的存在可以通过中心高斯过程来证明。更准确地说，通过为高斯过程定义适当的协方差函数，可以证明存在F乙米.
定理 3.1 让H>0是一个真正的参数。则存在一个连续高斯过程$B^{H}=\leftB_{t}^{H}\右B_{t}^{H}\右{t\geq 0}在一世吨HC○v一种r一世一种nC和F你nC吨一世○nG一世v和nb和$ \伽玛{H}s,吨=\frac{1}{2}\左s^{2 H}+t^{2 H}-|ts|^{2 H}\rights^{2 H}+t^{2 H}-|ts|^{2 H}\right, \quad s, t \geq 0
$$
当且仅当H≤1.
证明见 Nourdin2012.
参数H称为赫斯特参数。它与时间序列的长期依赖性有关。更具体地说，通过增加对之间的滞后，时间序列的自相关函数会降低。
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定义 3.1 让H∈(0,1]. 一种F乙米带赫斯特参数H是一个居中的连续高斯过程 $B^{H}=\leftB_{t}^{H}\右B_{t}^{H}\右{t\geq 0}在一世吨HC○v一种r一世一种nC和F你nC吨一世○n$ E\left[B {t}^{H} B_{s}^{H}\right]=\frac{1}{2}\lefts^{2 H}+t^{2 H}-|ts|^{2 H}\rights^{2 H}+t^{2 H}-|ts|^{2 H}\right.
motion. Furthermore, when $H \geq \frac{1}{2}$, then the covariance function is given by
$$
E\left[B_{t}^{H} B_{s}^{H}\right]=H(2 H-1) \int_{0}^{t} d u \int_{0}^{s} d v|v-u|^{2 H-2}
$$
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数字3.1显示了 fBm 的不同模拟路径。可以看出，当赫斯特参数接近零时，波动较小。相反，对于较小的 Hurst 参数值，波动更大。当 Hurst 参数为0.5，样本路径为F乙米是布朗运动的轨迹。
fBm 有三种不同的积分表示：时间表示、谱表示和沃尔泰拉过程表示。4
fBm 的时间表示由下式给出
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