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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Convergence of Markov Chain Monte Carlo methods

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统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Theoretical results

Definition $4.19$ and definition 4.20, as well as the result from theorem $4.21$, use the concept of ‘ $\sigma$-finite measures’ from mathematical analysis. A measure $\mu$ on $S$ assigns a ‘size’ $\mu(A)$ to subsets $A \subseteq S$. In order to avoid technical complications, we do not give the formal definition of a ‘ $\sigma$-finite measure’ here but instead give a few examples:

  • If $S=\mathbb{R}^{d}$, then the $d$-dimensional volume, that is $\mu(A)=|A|$ for all $A \subseteq S$, is a $\sigma$-finite measure on $S$.
  • If $S$ is finite or countable, the number of elements in a subset, that is $\mu(A)=# A$ for all $A \subseteq S$, is a $\sigma$-finite measure on $S$.
  • Every probability measure is a $\sigma$-finite measure on $S$, that is if $X$ is a random variable we can use $\mu(A)=P(X \in A)$. In particular, the stationary distribution $\pi$ of a Markov chain $X$ is a $\sigma$-finite measure.


数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Practical considerations

In the previous section we have seen that the Markov chain constructed for an MCMC method must be irreducible in order for the MCMC estimate to converge to the correct value $\mathbb{E}(f(X))$. In this section we will discuss different aspects of the speed of this convergence. As before, we consider the mean squared error
$$
\operatorname{MSE}\left(Z_{N}^{\mathrm{MCMC}}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{N}^{\mathrm{MCMC}}\right)+\operatorname{bias}\left(Z_{N}^{\mathrm{MCMC}}\right)^{2}
$$
where the estimator $Z_{N}^{\mathrm{MCMC}}$ is given by equation (4.11) and we use lemma $3.12$ to get the representation (4.13) for the mean squared error.

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数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|THEORETICAL RESULTS

定义4.19和定义4.20,以及定理的结果4.21, 使用 ‘ 的概念σ- 来自数学分析的有限度量。一种方法μ在小号分配一个“大小”μ(一种)到子集一种⊆小号. 为了避免技术上的复杂性,我们没有给出 a 的正式定义σ-finite measure’ 但举几个例子:

  • 如果小号=Rd,那么d维体积,即μ(一种)=|一种|对所有人一种⊆小号, 是一个σ- 有限测量小号.
  • 如果小号是有限的或可数的,子集中元素的数量,即\mu(A)=# A\mu(A)=# A对所有人一种⊆小号, 是一个σ- 有限测量小号.
  • 每个概率测度都是σ- 有限测量小号,也就是说,如果X是我们可以使用的随机变量μ(一种)=磷(X∈一种). 特别是,平稳分布圆周率马尔可夫链X是一个σ- 有限的措施。

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|PRACTICAL CONSIDERATIONS

在上一节中,我们已经看到为 MCMC 方法构建的马尔可夫链必须是不可约的,以便 MCMC 估计收敛到正确的值和(F(X)). 在本节中,我们将讨论这种收敛速度的不同方面。和以前一样,我们考虑均方误差
MSE⁡(和ñ米C米C)=在哪里⁡(和ñ米C米C)+偏见⁡(和ñ米C米C)2
估计器在哪里和ñ米C米C由等式给出4.11我们使用引理3.12得到代表4.13对于均方误差。

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