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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|The Metropolis–Hastings method

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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|The Metropolis–Hastings method

统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Continuous state space

In its general form, the Metropolis-Hastings method can be used on nearly arbitrary state spaces. In order to avoid technical complications, we do not give the general form of the algorithm here but, instead, consider the most important special cases separately. In this section, we will discuss the case where the state space is $S=\mathbb{R}^{d}$. The following section considers the case of finite or countable state space.
Algorithm 4.2 (Metropolis-Hastings method for continuous state space) input:
a probability density $\pi$ (the target density)
a transition density $p: S \times S \rightarrow[0, \infty)$
$$
X_{0} \in{x \in S \mid \pi(x)>0}
$$
randomness used:
independent samples $Y_{j}$ from the transition density $p$ (the proposals) $U_{j} \sim \mathcal{U}[0,1]$ i.i.d.
output:
a sample of a Markov chain $X$ with stationary density $\pi$.
As an abbreviation we define a function $\alpha: S \times S \rightarrow[0,1]$ by
$$
\alpha(x, y)=\min \left(\frac{\pi(y) p(y, x)}{\pi(x) p(x, y)}, 1\right)
$$

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Discrete state space

In this section, we state the Metropolis-Hastings algorithm for discrete state spaces. The algorithm for this case is obtained from algorithm $4.2$ by replacing densities with probability weights. Since the situation of discrete state is less technically challenging, here we prove a slightly better result than we did for the continuous case in proposition 4.3.
Algorithm 4.4 (Metropolis-Hastings method for discrete state space) input:
a probability vector $\pi \in \mathbb{R}^{S}$ (the target distribution)
a transition matrix $P=\left(p_{x y}\right){x, y \in S}$ $X{0} \in S$ with $\pi_{X_{0}}>0$
randomness used:
independent samples $Y_{j}$ from the transition matrix $P$ (the proposals) $U_{j} \sim \mathcal{U}[0,1]$ i.i.d.
output:
a sample of a Markov chain $X$ with stationary distribution $\pi$.
As an abbreviation we define a function $\alpha: S \times S \rightarrow[0,1]$ by
$$
\alpha(x, y)=\min \left(\frac{\pi_{y} p_{y x}}{\pi_{x} p_{x y}}, 1\right)
$$

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Random walk Metropolis sampling

The random walk Metropolis algorithm discussed in this section is an important special case of the Metropolis-Hastings algorithm. It can be considered both for the continuous and for the discrete case; here we restrict ourselves to the continuous case and refer to example $4.8$ for an illustration of the corresponding discrete case.

The Metropolis-Hastings method for the case $p(x, y)=p(y, x)$ is called the Metropolis method. In this case, the expression for the acceptance probability $\alpha$ simplifies to
$$
\alpha(x, y)=\min \left(\frac{\pi(y) p(y, x)}{\pi(x) p(x, y)}, 1\right)=\min \left(\frac{\pi(y)}{\pi(x)}, 1\right)
$$

for all $x, y \in S$ with $\pi(x)>0$ (or $\pi_{y} / \pi_{x}$ for discrete state space). The condition $p(x, y)=p(y, x)$ is, for example, satisfied when the proposals $Y_{j}$ are constructed as
$$
Y_{j}=X_{j-1}+\varepsilon_{j}
$$
where the $\varepsilon_{j}$ are i.i.d. with a symmetric distribution (i.e. $\varepsilon_{j}$ has the same distribution as $-\varepsilon_{j}$ ). We only state the version of the resulting algorithm for continuous state space $S$, the discrete version is found by using a probability vector instead of a density for the target distribution.

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|The Metropolis–Hastings method

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|CONTINUOUS STATE SPACE

Metropolis-Hastings 方法的一般形式可以用于几乎任意的状态空间。为了避免技术上的复杂性,我们在这里不给出算法的一般形式,而是分别考虑最重要的特殊情况。在本节中,我们将讨论状态空间为小号=Rd. 以下部分考虑有限或可数状态空间的情况。
算法 4.2米和吨r○p○一世一世s−H一种s吨一世nGs米和吨H○dF○rC○n吨一世n你○你ss吨一种吨和sp一种C和输入:
概率密度圆周率 吨H和吨一种rG和吨d和ns一世吨和
过渡密度p:小号×小号→[0,∞)
X0∈X∈小号∣圆周率(X)>0
使用的随机性:
独立样本和j从过渡密度p 吨H和pr○p○s一种一世s üj∼ü[0,1]iid
输出:
马尔可夫链的样本X具有固定密度圆周率.
作为缩写,我们定义一个函数一种:小号×小号→[0,1]经过
一种(X,和)=分钟(圆周率(和)p(和,X)圆周率(X)p(X,和),1)

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|DISCRETE STATE SPACE

在本节中,我们陈述离散状态空间的 Metropolis-Hastings 算法。这种情况的算法是从算法中得到的4.2通过用概率权重替换密度。由于离散状态的情况在技术上的挑战性较小,因此我们证明了比命题 4.3 中的连续情况稍好一些的结果。
算法 4.4米和吨r○p○一世一世s−H一种s吨一世nGs米和吨H○dF○rd一世sCr和吨和s吨一种吨和sp一种C和输入:
一个概率向量圆周率

a probability density $\pi$ (the target density)
a transition density $p: S \times S \rightarrow[0, \infty)$
$$
X_{0} \in{x \in S \mid \pi(x)>0}
$$
randomness used:
independent samples $Y_{j}$ from the transition density $p$ (the proposals) $U_{j} \sim \mathcal{U}[0,1]$ i.i.d.
output:
a sample of a Markov chain $X$ with stationary density $\pi$.
As an abbreviation we define a function $\alpha: S \times S \rightarrow[0,1]$ by
$$
\alpha(x, y)=\min \left(\frac{\pi(y) p(y, x)}{\pi(x) p(x, y)}, 1\right)
$$

分钟(圆周率和p和X圆周率XpX和,1)$

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|RANDOM WALK METROPOLIS SAMPLING

本节讨论的随机游走 Metropolis 算法是 Metropolis-Hastings 算法的一个重要特例。既可以考虑连续情况,也可以考虑离散情况;在这里,我们将自己限制在连续情况并参考示例4.8用于说明相应的离散情况。

案例的 Metropolis-Hastings 方法p(X,和)=p(和,X)称为 Metropolis 方法。在这种情况下,接受概率的表达式一种简化为
一种(X,和)=分钟(圆周率(和)p(和,X)圆周率(X)p(X,和),1)=分钟(圆周率(和)圆周率(X),1)

对所有人X,和∈小号和圆周率(X)>0 ○r$圆周率和/圆周率X$F○rd一世sCr和吨和s吨一种吨和sp一种C和. 条件p(X,和)=p(和,X)例如,当提案满足和j构造为
和j=Xj−1+ej
在哪里ej具有对称分布的独立同分布一世.和.$ej$H一种s吨H和s一种米和d一世s吨r一世b你吨一世○n一种s$−ej$. 我们只说明连续状态空间的结果算法的版本小号,离散版本是通过使用概率向量而不是目标分布的密度来找到的。

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