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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Variance reduction methods

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统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Importance sampling

The importance sampling method is based on the following argument. Assume that $X$ is a random variable with density $\varphi$, that $f$ is a real-valued function and that $\psi$ is another probability density with $\psi(x)>0$ whenever $f(x) \varphi(x)>0$. Then we have
$$
\mathbb{E}(f(X))=\int f(x) \varphi(x) d x=\int f(x) \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} \psi(x) d x
$$
where we define the fraction to be 0 whenever the denominator (and thus the numerator) equals 0 . Since $\psi$ is a probability density, the integral on the right can be written as an expectation again: if $Y$ has density $\psi$, we have
$$
\mathbb{E}(f(X))=\mathbb{E}\left(f(Y) \frac{\varphi(Y)}{\psi(Y)}\right)
$$
Now we can use a basic Monte Carlo estimate for the expectation on the right-hand side to get the following estimate.

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Antithetic variables

The antithetic variables method (also called antithetic variates method) reduces the variance and thus the error of Monte Carlo estimates by using pairwise dependent samples $X_{j}$ instead of the independent samples used in basic Monte Carlo estimation.
For illustration, we first consider the case $N=2$ : assume that $X$ and $X^{\prime}$ are identically distributed random variables, which are not independent. As for the independent case we have
$$
\mathbb{E}\left(\frac{f(X)+f\left(X^{\prime}\right)}{2}\right)=\frac{\mathbb{E}(f(X))+\mathbb{E}\left(f\left(X^{\prime}\right)\right)}{2}=\mathbb{E}(f(X))
$$
but for the variance we get
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Var}\left(\frac{f(X)+f\left(X^{\prime}\right)}{2}\right) &=\frac{\operatorname{Var}(f(X))+2 \operatorname{Cov}\left(f(X), f\left(X^{\prime}\right)\right)+\operatorname{Var}\left(f\left(X^{\prime}\right)\right)}{4} \
&=\frac{1}{2} \operatorname{Var}(f(X))+\frac{1}{2} \operatorname{Cov}\left(f(X), f\left(X^{\prime}\right)\right)
\end{aligned}
$$

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Control variates

The control variates method is another method to reduce the variance of Monte Carlo estimates for expectations of the form $\mathbb{E}(f(X))$. The method is based on the following idea: if we can find a ‘simpler’ function $g \approx f$ such that $\mathbb{E}(g(X))$ can be computed analytically, then we can use our knowledge of $\mathbb{E}(g(X))$ to assist with the estimation of $\mathbb{E}(f(X))$. In the control variates methods, this is done by rewriting the expectation of interest as
$$
\mathbb{E}(f(X))=\mathbb{E}(f(X)-g(X))+\mathbb{E}(g(X))
$$
Since we know $\mathbb{E}(g(X))$, the Monte Carlo estimation can now be restricted to the term $\mathbb{E}(f(X)-g(X))$ and since $f(X) \approx g(X)$, the random quantity $f(X)-g(X)$ has smaller variance and thus smaller Monte Carlo error than $f(X)$ has on its own. In this context, the random variable $g(X)$ is called a control variate for $f(X)$.

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Variance reduction methods

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|IMPORTANCE SAMPLING

重要性抽样方法基于以下论点。假使,假设X是具有密度的随机变量披, 那F是一个实值函数,并且ψ是另一个概率密度ψ(X)>0每当F(X)披(X)>0. 然后我们有
和(F(X))=∫F(X)披(X)dX=∫F(X)披(X)ψ(X)ψ(X)dX
每当分母时,我们将分数定义为 0一种nd吨H你s吨H和n你米和r一种吨○r等于 0 。自从ψ是概率密度,右边的积分可以再次写成期望:如果和有密度ψ, 我们有
和(F(X))=和(F(和)披(和)ψ(和))
现在我们可以对右边的期望使用基本的蒙特卡罗估计来得到以下估计。

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|ANTITHETIC VARIABLES

对立变量法一种一世s○C一种一世一世和d一种n吨一世吨H和吨一世Cv一种r一世一种吨和s米和吨H○d通过使用成对相关样本来减少方差,从而减少蒙特卡洛估计的误差Xj而不是基本蒙特卡罗估计中使用的独立样本。
为了说明,我们首先考虑这种情况ñ=2: 假使,假设X和X′是同分布的随机变量,它们不是独立的。至于我们有的独立案例
和(F(X)+F(X′)2)=和(F(X))+和(F(X′))2=和(F(X))
但是对于我们得到的方差
在哪里⁡(F(X)+F(X′)2)=在哪里⁡(F(X))+2这⁡(F(X),F(X′))+在哪里⁡(F(X′))4 =12在哪里⁡(F(X))+12这⁡(F(X),F(X′))

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|CONTROL VARIATES

控制变量法是另一种减少蒙特卡罗估计方差的方法和(F(X)). 该方法基于以下想法:如果我们能找到一个“更简单”的函数G≈F这样和(G(X))可以解析计算,然后我们可以使用我们的知识和(G(X))协助估计和(F(X)). 在控制变量方法中,这是通过将感兴趣的期望重写为
和(F(X))=和(F(X)−G(X))+和(G(X))
既然我们知道和(G(X)),蒙特卡洛估计现在可以限制为和(F(X)−G(X))并且因为F(X)≈G(X), 随机量F(X)−G(X)具有较小的方差,因此蒙特卡洛误差小于F(X)有自己的。在这种情况下,随机变量G(X)被称为控制变量F(X).

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