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数学代写|实分析代写real analysis代考|Fourier Series

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实分析real analysis是数学中的一个经典分支,它的发展是为了使数和函数的研究正规化,并研究重要的概念,如极限和连续性。这些概念是微积分及其应用的基础。实物分析已经成为许多应用领域中不可或缺的工具。

实分析real analysis的基础知识:序列和数列的收敛性、连续性、可分性、黎曼积分、函数的序列和数列、均匀性以及极限操作的互换。

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数学代写|实分析代写real analysis代考|The Fourier Transform on L2(R)

Given $f \in L^{2}(\mathbb{R})$, let $\left{f_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}$ be any sequence in $C_{c}^{2}(\mathbb{R})$ such that $f_{n} \rightarrow f$ in $L^{2}$-norm. Then the Fourier transform of $f$ is the function $\widehat{f} \in L^{2}(\mathbb{R})$ such that $\widehat{f_{n}} \rightarrow \widehat{f}$ in $L^{2}$-norm.

This defines the Fourier transform of every square-integrable function. However, we now have two Fourier transforms, one defined on $L^{1}(\mathbb{R})$ and one on $L^{2}(\mathbb{R})$. We show next that these two definitions coincide for any function that belongs to both spaces. Note that if $f \in L^{1}(\mathbb{R})$, then $\widehat{f}$ is a continuous function that is defined by the integral that appears in equation (9.47). In contrast, if $f \in L^{2}(\mathbb{R})$, then $\widehat{f}$ is only implicitly defined as the $L^{2}$-norm limit of $\widehat{f}{n}$ where $f{n} \in C_{c}^{2}(\mathbb{R})$ and $f_{n} \rightarrow f$ in $L^{2}$-norm. Hence, if $f \in L^{2}(\mathbb{R})$, then its Fourier transform $\hat{f}$ is an element of $L^{2}(\mathbb{R})$, and therefore is only defined up to sets of measure zero.

数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|Decay of Fourier Coefficients

If $f \in L^{1}(\mathbb{R}) \cap L^{2}(\mathbb{R})$, then the function $\widehat{f}$ given by equation $(9.47)$ is equal almost everywhere to the function $\widehat{f}$ given by Definition 9.4.3.
Proof. Fix a function $f \in L^{1}(\mathbb{R}) \cap L^{2}(\mathbb{R})$. Let $\widehat{f}$ be the function defined by equation (9.47), and let $F$ be the $L^{2}$-Fourier transform of $f$ as given by Definition 9.4.3.

The proof of Theorem $9.1 .12$ shows how to explicitly construct functions $f_{N} \in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$ that converge to $f$ in $L^{1}$-norm. Specifically, if $f_{N}$ is defined as in equation (9.5), then $\left|f-f_{N}\right|_{1} \rightarrow 0$. Replacing the $L^{1}$-norm by the $L^{2}$-norm, exactly the same proof shows that we also have $\left|f-f_{N}\right|_{2} \rightarrow 0$ (compare Problem 9.1.22).

Now, since $\left|f-f_{N}\right|_{1} \rightarrow 0$, Lemma $9.2 .3$ implies that $\widehat{f_{N}} \rightarrow \widehat{f}$ uniformly, and hence pointwise. On the other hand, since $\left|f-f_{N}\right|_{2} \rightarrow 0$, we have by definition that $\widehat{f_{N}} \rightarrow F$ in $L^{2}$-norm. Hence there is a subsequence of the $\widehat{f_{N}} \widehat{\widehat{f}}$ that converges to $F$ pointwise a.e. But this subsequence also converges to $\widehat{f}$ pointwise, so we conclude that $F=\widehat{f}$ a.e.

In summary, we have defined the Fourier transform of every function in $L^{1}(\mathbb{R}) \cup L^{2}(\mathbb{R})$. For functions in $L^{1}(\mathbb{R})$ the Fourier transform is given by equation (9.47), while for functions in $L^{2}(\mathbb{R})$ it is given by Definition 9.4.3.

For functions that belong to both $L^{1}(\mathbb{R})$ and $L^{2}(\mathbb{R})$ these two definitions coincide in the usual almost everywhere sense.
We show next that the Fourier transform is isometric on all of $L^{2}(\mathbb{R})$.

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实分析代写

数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|THE FOURIER TRANSFORM ON L2R

给定F∈大号2(R), 让\left{f_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}\left{f_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}是任何序列CC2(R)这样Fn→F在大号2-规范。那么傅里叶变换F是函数F^∈大号2(R)这样Fn^→F^在大号2-规范。

这定义了每个平方可积函数的傅里叶变换。然而,我们现在有两个傅里叶变换,一个定义在大号1(R)还有一个大号2(R). 接下来我们将证明这两个定义对于属于这两个空间的任何函数都是一致的。请注意,如果F∈大号1(R), 然后F^是由方程中出现的积分定义的连续函数9.47. 相反,如果F∈大号2(R), 然后F^仅被隐式定义为大号2-$\widehat{f} {n}的范数限制在H和r和f {n} \in C_{c}^{2}R一种ndf_{n} \rightarrow f一世nL^{2}−n这r米.H和nC和,一世Ff \in L^{2}R,吨H和n一世吨sF这你r一世和r吨r一种nsF这r米\帽子{f}一世s一种n和一世和米和n吨这FL^{2}R$,因此仅定义为测量零组。

数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|DECAY OF FOURIER COEFFICIENTS

如果F∈大号1(R)∩大号2(R), 那么函数F^由方程给出(9.47)几乎处处等于函数F^由定义 9.4.3 给出。
证明。修复一个函数F∈大号1(R)∩大号2(R). 让F^是方程定义的函数9.47, 然后让F成为大号2-傅里叶变换F由定义 9.4.3 给出。

定理的证明9.1.12展示了如何显式构造函数Fñ∈CC∞(R)收敛到F在大号1-规范。具体来说,如果Fñ定义为等式9.5, 然后|F−Fñ|1→0. 更换大号1-规范由大号2-norm,完全相同的证明表明我们也有|F−Fñ|2→0 C这米p一种r和磷r这b一世和米9.1.22.

现在,自从|F−Fñ|1→0, 引理9.2.3暗示Fñ^→F^均匀地,因此逐点。另一方面,由于|F−Fñ|2→0,根据定义,我们有Fñ^→F在大号2-规范。因此有一个子序列Fñ^F^^收敛到F逐点 ae 但是这个子序列也收敛到F^逐点,所以我们得出结论F=F^ae

总之,我们已经定义了每个函数的傅里叶变换大号1(R)∪大号2(R). 对于函数大号1(R)傅里叶变换由等式给出9.47, 而对于函数大号2(R)它由定义 9.4.3 给出。

对于同时属于两者的功能大号1(R)和大号2(R)这两个定义在通常几乎无处不在的意义上是一致的。
接下来我们证明傅里叶变换在所有大号2(R).

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