如果你也在 怎样代写实分析real analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析real analysis是数学分析的一个分支，研究实数、实数序列和实数函数的行为。 实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。实分析有别于复分析，后者涉及复数及其函数的研究。
实分析real analysis是数学中的一个经典分支，它的发展是为了使数和函数的研究正规化，并研究重要的概念，如极限和连续性。这些概念是微积分及其应用的基础。实物分析已经成为许多应用领域中不可或缺的工具。
实分析real analysis的基础知识：序列和数列的收敛性、连续性、可分性、黎曼积分、函数的序列和数列、均匀性以及极限操作的互换。
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数学代写|实分析代写real analysis代考|Fubini’s Theorem
We begin by giving the statement of Fubini’s Theorem. According to this result, the double integral and the two iterated integrals are all equal if $f$ is an integrable function on the Cartesian product $E \times F$.
Theorem 4.6.1 (Fubini’s Theorem). Let $E$ be a measurable subset of $\mathbb{R}^{m}$ and let $F$ be a measurable subset of $\mathbb{R}^{n}$. If $f: E \times F \rightarrow \overline{\mathbf{F}}$ is integrable on $E \times F$, then the following statements hold.
(a) $f_{x}(y)=f(x, y)$ is measurable and integrable on $F$ for almost every $x \in E$.
(b) $f^{y}(x)=f(x, y)$ is measurable and integrable on $E$ for almost every $y \in F$.
(c) $g(x)=\int_{F} f_{x}(y) d y$ is measurable and integrable on $E$.
(d) $h(y)=\int_{E} f^{y}(x) d x$ is measurable and integrable on $F$.
(e) The following three integrals exist and are finite (i.e., they are real or complex scalars), and they are equal as indicated:
$$
\begin{aligned}
\iint_{E \times F} f(x, y)(d x d y) &=\int_{F}\left(\int_{E} f(x, y) d x\right) d y \
&=\int_{E}\left(\int_{F} f(x, y) d y\right) d x
\end{aligned}
$$
Before beginning the proof of Fubini’s Theorem, we point out that statements (a) and (b) of the theorem are not trivial. If $f$ is measurable on $E \times F$ and we fix $x \in E$, then $f_{x}(y)=f(x, y)$ need not be a measurable function on $F$ ! For example, let $Z$ be a subset of $\mathbb{R}$ that has measure zero and let $N$ be a nonmeasurable subset of $\mathbb{R}$. Then $Z \times N$ has measure zero as a subset of $\mathbb{R}^{2}$, so
$$
f(x, y)=\chi_{Z \times N}(x, y)=\chi_{Z}(x) \chi_{N}(y), \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2}
$$
is a measurable function on $\mathbb{R}^{2}$. However, if we fix a point $x \in Z$, then
$$
f_{x}(y)=\chi_{Z}(x) \chi_{N}(y)=\chi_{N}(y), \quad y \in \mathbb{R},
$$
is not measurable on $\mathbb{R}$. To prove Fubini’s Theorem, we will have to show that if $f$ is measurable on $E \times F$ then the restriction $f_{x}$ is measurable on $F$ for almost every $x$, and the restriction $f^{y}$ is measurable on $E$ for almost every $y$. We must be careful not to try to integrate $f_{x}$ or $f^{y}$ before we have verified that they are measurable.
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|Tonelli’s Theorem
Our next result, which is known as Tonelli’s Theorem, is complementary to Fubini’s Theorem. It states that the interchange in the order of integration is allowed if $f$ is a nonnegative function. In this case all of the integrals involved are nonnegative, although they might be infinite.
Theorem 4.6.8 (Tonelli’s Theorem). Let $E$ be a measurable subset of $\mathbb{R}^{m}$ and let $F$ be a measurable subset of $\mathbb{R}^{n}$. If $f: E \times F \rightarrow[0, \infty]$ is measurable, then the following statements hold.
(a) $f_{x}(y)=f(x, y)$ is a measurable function on $F$ for almost every $x \in E$.
(b) $f^{y}(x)=f(x, y)$ is a measurable function on $E$ for almost every $y \in F$.
(c) $g(x)=\int_{F} f_{x}(y) d y$ is a measurable function on $E$.
(d) $h(y)=\int_{E} f^{y}(x) d x$ is a measurable function on $F$.
(e) The following three integrals exist as nonnegative extended real numbers, and are equal as indicated:
$$
\begin{aligned}
\iint_{E \times F} f(x, y)(d x d y) &=\int_{F}\left(\int_{E} f(x, y) d x\right) d y \
&=\int_{E}\left(\int_{F} f(x, y) d y\right) d x
\end{aligned}
$$
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|Convolution
To give an application of Fubini’s Theorem and Tonelli’s Theorem, we introduce the operation of convolution and prove that $L^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ is closed under this operation.
If $f$ and $g$ belong to $L^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$, then we formally define their convolution to be the function $f * g$ given by
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{d}} f(y) g(x-y) d y .
$$
This is a “formal” definition because at this point we do not know whether the integral in the definition of $(f * g)(x)$ exists.
It may not be obvious at this point why we would want to define $f * g$ by equation (4.27), or why this would lead to a useful operation. However, convolution is in fact a natural operation that arises in a wide variety of circumstances. To give a familiar example of a discrete version of a convolution, consider the product of two polynomials
$p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{m} x^{m} \quad$ and $\quad q(x)=b_{0}+b_{1} x+\cdots+b_{n} x^{n}$
If we set $a_{k}=0$ for $k>m$ and $k<0$ and $b_{k}=0$ for $k>n$ and $k<0$, then the product of $p$ and $q$ is $p(x) q(x)=c_{0}+c_{1} x+\cdots+c_{m+n} x^{m+n}$, where
$$
c_{k}=\sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j}, \quad \text { for } k=0, \ldots, m+n
$$
实分析代写
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|FUBINI’S THEOREM
我们首先给出 Fubini 定理的陈述。根据这个结果，二重积分和两个迭代积分都相等，如果F是笛卡尔积上的可积函数和×F.
定理 4.6.1F你b一世n一世′s吨H和这r和米. 让和是可测量的子集R米然后让F是可测量的子集Rn. 如果F:和×F→F¯可积在和×F，则下列陈述成立。
一种 FX(是)=F(X,是)是可测量和可积的F几乎每一个X∈和.
b F是(X)=F(X,是)是可测量和可积的和几乎每一个是∈F.
C G(X)=∫FFX(是)d是是可测量和可积的和.
d H(是)=∫和F是(X)dX是可测量和可积的F.
和以下三个积分存在且是有限的一世.和.,吨H和是一种r和r和一种一世这rC这米p一世和XsC一种一世一种rs，并且它们相等，如下所示：
∬和×FF(X,是)(dXd是)=∫F(∫和F(X,是)dX)d是 =∫和(∫FF(X,是)d是)dX
在开始证明 Fubini 定理之前，我们指出一种和b定理的意义不是微不足道的。如果F可测量和×F我们修复X∈和， 然后FX(是)=F(X,是)不必是一个可测量的函数F！例如，让从成为的一个子集R测量为零并让ñ是不可测的子集R. 然后从×ñ有测量零作为子集R2， 所以
F(X,是)=χ从×ñ(X,是)=χ从(X)χñ(是),(X,是)∈R2
是一个可测量的函数R2. 但是，如果我们确定一个点X∈从， 然后
FX(是)=χ从(X)χñ(是)=χñ(是),是∈R,
不可测量R. 为了证明 Fubini 定理，我们必须证明如果F可测量和×F然后限制FX可测量F几乎每一个X, 和限制F是可测量和几乎每一个是. 我们必须注意不要试图整合FX或者F是在我们验证它们是可测量的之前。
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|TONELLI’S THEOREM
我们的下一个结果，称为 Tonelli 定理，是对 Fubini 定理的补充。它指出，如果满足以下条件，则允许按集成顺序进行交换F是一个非负函数。在这种情况下，所有涉及的积分都是非负的，尽管它们可能是无限的。
定理 4.6.8吨这n和一世一世一世′s吨H和这r和米. 让和是可测量的子集R米然后让F是可测量的子集Rn. 如果F:和×F→[0,∞]是可测量的，则以下陈述成立。
一种 FX(是)=F(X,是)是一个可测量的函数F几乎每一个X∈和.
b F是(X)=F(X,是)是一个可测量的函数和几乎每一个是∈F.
C G(X)=∫FFX(是)d是是一个可测量的函数和.
d H(是)=∫和F是(X)dX是一个可测量的函数F.
和以下三个积分作为非负扩展实数存在，并且如图所示相等：
∬和×FF(X,是)(dXd是)=∫F(∫和F(X,是)dX)d是 =∫和(∫FF(X,是)d是)dX
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|CONVOLUTION
为了给出 Fubini 定理和 Tonelli 定理的应用，我们引入卷积运算并证明大号1(Rd)在此操作下关闭。
如果F和G属于大号1(Rd)，然后我们正式将它们的卷积定义为函数F∗G由
(F∗G)(X)=∫RdF(是)G(X−是)d是.
这是一个“正式的”定义，因为此时我们不知道定义中的积分是否(F∗G)(X)存在。
在这一点上，我们为什么要定义可能并不明显F∗G由方程4.27，或者为什么这会导致有用的操作。然而，卷积实际上是在各种情况下出现的自然操作。举一个卷积离散版本的熟悉示例，考虑两个多项式的乘积
p(X)=一种0+一种1X+⋯+一种米X米和q(X)=b0+b1X+⋯+bnXn
如果我们设置一种到=0为了到>米和到<0和b到=0为了到>n和到<0，然后的乘积p和q是p(X)q(X)=C0+C1X+⋯+C米+nX米+n， 在哪里
C到=∑j=0到一种jb到−j, 为了 到=0,…,米+n
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离散数学代写
Partial Differential Equations代写可以参考一份偏微分方程midterm答案解析