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数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|ition. Let F be a field, with a; b; c
4.1.2 Proposition. Let $F$ be a field, with $a, b, c \in F$.
(a) Cancellation laws: If $a+c=b+c$, then $a=b$. If $c \neq 0$ and $a \cdot c=b \cdot c$, then $a=b$.
(b) Uniqueness of identity elements: If $a+b=a$, then $b=0$. If $a \cdot c=a$ and $a \neq 0$, then $c=1$.
(c) Uniqueness of inverses: If $a+b=0$, then $b=-a$. If $a \neq 0$ and $a b=1$, then $b=a^{-1}$.
Proof. Proposition 3.1.2 shows that identity elements and inverses are unique for any binary operation. The axioms that hold for the field $F$ show that $F$ is an abelian group under addition, and so the additive cancellation law follows from Proposition 3.1.7 of Chapter 3.
Suppose that $a \cdot c=b \cdot c$, with $c \neq 0$. Since $c$ is nonzero, an inverse $c^{-1}$ exists, and we can rewrite the equation in the following way:
$$
\begin{aligned}
a c &=b c \
(a c) c^{-1} &=(b c) c^{-1} \
a\left(c c^{-1}\right) &=b\left(c c^{-1}\right) \
a \cdot 1 &=b \cdot 1 \
a &=b
\end{aligned}
$$
This completes the proof.
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|Proposition. Le
(a) For all $a \in F, a \cdot 0=0$.
(b) If $a, b \in F$ with $a \neq 0$ and $b \neq 0$, then $a b \neq 0$.
(c) For all $a \in F,-(-a)=a$.
(d) For all $a, b \in F,(a)(-b)=(-a)(b)=-a b$.
(e) For all $a, b \in F,(-a)(-b)=a b$.
Proof. (a) We will use the fact that $0+0=0$. By the distributive law,
$$
a \cdot 0+a \cdot 0=a \cdot(0+0)=a \cdot 0=a \cdot 0+0,
$$
so the cancellation law for addition shows that $a \cdot 0=0$.
(b) If $a \neq 0$ and $a \cdot b=0$, then $a \cdot b=a \cdot 0$ and the cancellation law for multiplication shows that $b=0$.
(c) In words, the equation $-(-a)=a$ states that the additive inverse of $-a$ is $a$, and this follows from the equation $-a+a=0$ which defines $-a$.
(d) Using the distributive law,
$$
a \cdot b+a \cdot(-b)=a \cdot(b+(-b))=a \cdot 0=0 ，
$$
which shows that $(a)(-b)$ is the additive inverse of $a b$, and so $(a)(-b)=-(a b)$. Similarly, $(-a)(b)=-a b$.
(e) Now consider $(-a)(-b)$. By what we have just shown,
$$
(-a)(-b)=-((-a)(b))=-(-a b)=a b,
$$
and this completes the proof.
Having proved some elementary results on fields, we are now ready to discuss polynomials with coefficients in a field. In high school algebra we talk about $x$ as an “unknown” quantity. Sometimes this is appropriate, but we need to think in a more general context, not limiting $x$ to be an element of a specific field. We should usually think of $x$ as a symbol on which various operations can be performed, and to encourage this we use the word “indeterminate” in place of “unknown”.
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|ITION. LET F BE A FIELD, WITH A; B; C
4.1.2 命题。让F是一个领域，与一种,b,C∈F.
一种取消法：如果一种+C=b+C， 然后一种=b. 如果C≠0和一种⋅C=b⋅C， 然后一种=b.
b身份元素的唯一性：如果一种+b=一种， 然后b=0. 如果一种⋅C=一种和一种≠0， 然后C=1.
C逆的唯一性：如果一种+b=0， 然后b=−一种. 如果一种≠0和一种b=1， 然后b=一种−1.
证明。命题 3.1.2 表明单位元和逆元对于任何二元运算都是唯一的。适用于该领域的公理F显示F是一个加法下的阿贝尔群，因此加法抵消律来自第 3 章的命题 3.1.7。
假设一种⋅C=b⋅C， 和C≠0. 自从C非零，逆C−1存在，我们可以用以下方式重写方程：
一种C=bC (一种C)C−1=(bC)C−1 一种(CC−1)=b(CC−1) 一种⋅1=b⋅1 一种=b
这样就完成了证明。
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|PROPOSITION. LE
一种对全部一种∈F,一种⋅0=0.
b如果一种,b∈F和一种≠0和b≠0， 然后一种b≠0.
C对全部一种∈F,−(−一种)=一种.
d对全部一种,b∈F,(一种)(−b)=(−一种)(b)=−一种b.
和对全部一种,b∈F,(−一种)(−b)=一种b.
证明。一种我们将使用以下事实0+0=0. 根据分配规律，
一种⋅0+一种⋅0=一种⋅(0+0)=一种⋅0=一种⋅0+0,
所以加法的取消律表明一种⋅0=0.
b如果一种≠0和一种⋅b=0， 然后一种⋅b=一种⋅0乘法的抵消律表明b=0.
C换句话说，方程−(−一种)=一种表明加法逆−一种是一种, 这由等式得出−一种+一种=0它定义了−一种.
d使用分配律，
，一种⋅b+一种⋅(−b)=一种⋅(b+(−b))=一种⋅0=0，
这表明(一种)(−b)是的加法逆一种b， 所以(一种)(−b)=−(一种b). 相似地，(−一种)(b)=−一种b.
和现在考虑(−一种)(−b). 根据我们刚刚展示的，
(−一种)(−b)=−((−一种)(b))=−(−一种b)=一种b,
这样就完成了证明。
在证明了一些关于域的基本结果之后，我们现在准备讨论具有域中系数的多项式。在高中代数中，我们谈论X作为“未知”量。有时这是合适的，但我们需要在更一般的背景下思考，而不是限制X成为特定领域的一个元素。我们通常应该想到X作为可以执行各种操作的符号，为了鼓励这一点，我们使用“不确定”一词代替“未知”。
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