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数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|non-negative random variable

Let $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ be a probability space. Then we have the following.
Theorem 1.3.1 Let $\mathcal{G}$ be a sub- $\sigma$-algebra, and $X$ be a non-negative random variable. Then there exists a non-negative random variable $Y$ satisfying the following two conditions.
(1) $Y$ is G-measurable.
(2) $E[Y, B]=E[X, B]$ for any $B \in \mathcal{G}$.
Moreover, if $Y^{\prime}$ is another non-negative random variable satisfying Conditions
(1) and (2), then $Y^{\prime}=Y$ a.s.
Proof Let $X_{n}=X \wedge n, n=0,1,2, \ldots$ Since $E\left[X_{n}^{2}\right]<\infty$, by Proposition $1.2 .3$ there are $Y_{n} \in \mathcal{L}{\mathcal{G}}^{2}, n=1,2, \ldots$, such that $E\left[Y{n}, B\right]=E\left[X_{n}, B\right]$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $Y_{0}=0$. Then $Y_{0} \in \mathcal{L}{G}^{2}$ and $E\left[Y{0}, B\right]=E\left[X_{0}, B\right]=0$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $A_{n, m}=\left{Y_{n}-Y_{m}<0\right}$ for $n>m \geqq 0$. Then we see that $A_{n, m} \in \mathcal{G}$. Since $X_{n} \geqq X_{m}$, we see that
$$
E\left[Y_{n}-Y_{m}, A_{n, m}\right]=E\left[X_{n}-X_{m}, A_{n, m}\right] \geqq 0
$$

This shows that $P\left(Y_{n}-Y_{m}<0\right)=0, n>m \geqq 0$, and so $P\left(Y_{n} \geqq Y_{m}\right)=1$. Let $\Omega_{0}=\bigcap_{n=0}^{\infty}\left{Y_{n+1} \geqq Y_{n}\right}$ and let $Y=\lim {n \rightarrow \infty} 1{\Omega_{0}} Y_{n}$. Since $X_{n}, n=1,2, \ldots$, and $1_{\Omega_{0}} Y_{n}, n=1,2, \ldots$, are non-decreasing sequences of non-negative random variables, we see that for $B \in \mathcal{G}$
$$
E[Y, B]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[1{\Omega_{0}} Y_{n}, B\right]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[Y{n}, B\right]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[X{n}, B\right]=E[X, B]
$$
This implies our first assertion.
Suppose that $Y^{\prime}$ is a non-negative random variable satisfying Conditions (1) and (2). Let $A_{n}=\left{Y^{\prime} \geqq Y+\frac{1}{n}, Y \leqq n\right}, n \geqq 1$. Then we see that $A_{n} \in \mathcal{G}$ and $E\left[Y, A_{n}\right]<\infty$. Therefore we see that $$ E\left[Y, A_{n}\right]+\frac{1}{n} P\left(A_{n}\right) \leqq E\left[Y, A_{n}\right]+E\left[Y^{\prime}-Y, A_{n}\right]=E\left[Y^{\prime}, A_{n}\right]=E\left[X, A_{n}\right]=E\left[Y, A_{n}\right] . $$ This implies that $P\left(A_{n}\right)=0$. Note that $$ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}=\left{Y^{\prime}>Y\right}
$$
So we see that $P\left(Y^{\prime}>Y\right)=0$. Since we can prove $P\left(Y>Y^{\prime}\right)=0$ similarly, we obtain $Y=Y^{\prime}$ a.s.

数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|progressively measurable processes

Corollary 1.3.1 Let G be a sub- $\sigma$-algebra, and $X$ be an integrable random variable. Then there exists an integrable random variable $Y$ satisfying the following.
(1) $Y$ is G-measurable.
(2) $E[Y, B]=E[X, B]$ for any $B \in G$.
Moreover, if $Y^{\prime}$ is another integrable random variable satisfying Conditions (1) and (2), then $Y^{\prime}=Y$ a.s.

Proof Let $X_{+}$and $X_{-}$be non-negative random variables given by $X_{+}=\max {X, 0}$ and $X_{-}=\max {-X, 0}$. Then we see that $E\left[X_{+}\right]<\infty$, and $E\left[X_{-}\right]<\infty$. Since
$$
E\left[E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]+E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right]\right]=E\left[E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]+E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right], \Omega\right]=E\left[X_{+}+X_{-}, \Omega\right]<\infty,
$$
we see that $E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]<\infty$ and $E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right]<\infty$ a.s. Therefore letting $Y=E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]$ $-E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right]$, we see that $Y$ is an integrable random variable satisfying Conditions (1) and (2).

Suppose that $Y^{\prime}$ is an integrable random variable satisfying Conditions (1) and (2). Then we see that $\left{Y>Y^{\prime}\right} \in \mathcal{G}$, and that

$$
\begin{aligned}
E\left[Y-Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] &=E\left[Y,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]-E\left[Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] \
&=E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]-E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]=0
\end{aligned}
$$
This implies that $P\left(Y>Y^{\prime}\right)=0$. Similarly, we see that $P\left(Y^{\prime}>Y\right)=0$. So we obtain $P\left(Y=Y^{\prime}\right)=1$.

We denote also by $E[X \mid \mathcal{G}]$ the integrable random variable $Y$ in Corollary 1.3.1. Note that $E[X \mid \mathcal{G}]$ is determined only almost surely in either case that $X$ is a non-negative random variable or $X$ is an integrable random variable.
We call $E[X \mid \mathcal{G}]$ the conditional expectation of $X$ given a sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$.
For any $A \in \mathcal{F}$, we denote $E\left[1_{A} \mid \mathcal{G}\right]$ by $P(A \mid \mathcal{G})$ and we call this the conditional probability of an event $A$ given a sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$.

数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|Conditional Expectation

随机分析代写

数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|NON-NEGATIVE RANDOM VARIABLE

让(Ω,F,磷)是一个概率空间。然后我们有以下内容。
定理 1.3.1 让G成为一个子σ-代数,和X为非负随机变量。那么存在一个非负随机变量是满足以下两个条件。
1 是是 G 可测量的。
2 和[是,乙]=和[X,乙]对于任何乙∈G.
此外,如果是′是另一个满足条件的非负随机变量
1和2, 然后是′=是作为
Proof Let $X_{n}=X \wedge n, n=0,1,2, \ldots$ Since $E\left[X_{n}^{2}\right]<\infty$, by Proposition $1.2 .3$ there are $Y_{n} \in \mathcal{L}{\mathcal{G}}^{2}, n=1,2, \ldots$, such that $E\left[Y{n}, B\right]=E\left[X_{n}, B\right]$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $Y_{0}=0$. Then $Y_{0} \in \mathcal{L}{G}^{2}$ and $E\left[Y{0}, B\right]=E\left[X_{0}, B\right]=0$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $A_{n, m}=\left{Y_{n}-Y_{m}<0\right}$ for $n>m \geqq 0$. Then we see that $A_{n, m} \in \mathcal{G}$. Since $X_{n} \geqq X_{m}$, we see that
$$
E\left[Y_{n}-Y_{m}, A_{n, m}\right]=E\left[X_{n}-X_{m}, A_{n, m}\right] \geqq 0
$$

这表明磷$P\left(Y_{n}-Y_{m}<0\right)=0, n>m \geqq 0$, and so $P\left(Y_{n} \geqq Y_{m}\right)=1$. Let $\Omega_{0}=\bigcap_{n=0}^{\infty}\left{Y_{n+1} \geqq Y_{n}\right}$ and let $Y=\lim {n \rightarrow \infty} 1{\Omega_{0}} Y_{n}$. Since $X_{n}, n=1,2, \ldots$, and $1_{\Omega_{0}} Y_{n}, n=1,2, \ldots$, are non-decreasing sequences of non-negative random variables, we see that for $B \in \mathcal{G}$
这意味着我们的第一个断言。假设$Y^{\prime}$ 是一个满足条件(1)和(2)的非负随机变量。令$A_{n}=\left{Y^{\prime} \geqq Y+\frac{1}{n}, Y \leqq n\right}, n \geqq 1$。然后我们看到 $A_{n} \in \mathcal{G}$ 和 $E\left[Y, A_{n}\right]<\infty$。因此我们看到这意味着我们的第一个断言。We denote also by $E[X \mid \mathcal{G}]$ the integrable random variable $Y$ in Corollary 1.3.1. Note that $E[X \mid \mathcal{G}]$ is determined only almost surely in either case that $X$ is a non-negative random variable or $X$ is an integrable random variable.
We call $E[X \mid \mathcal{G}]$ the conditional expectation of $X$ given a sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$.
For any $A \in \mathcal{F}$, we denote $E\left[1_{A} \mid \mathcal{G}\right]$ by $P(A \mid \mathcal{G})$
所以我们看到磷(是′>是)=0. 既然我们可以证明磷(是>是′)=0同样,我们得到是=是′作为

数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|PROGRESSIVELY MEASURABLE PROCESSES

推论 1.3.1 令 G 为子σ-代数,和X是一个可积的随机变量。那么存在一个可积的随机变量是满足以下。
1 是是 G 可测量的。
2 和[是,乙]=和[X,乙]对于任何乙∈G.
此外,如果是′是另一个满足条件的可积随机变量1和2, 然后是′=是作为

证明让X+和X−是由下式给出的非负随机变量X+=最大限度X,0和X−=最大限度−X,0. 然后我们看到和[X+]<∞, 和和[X−]<∞. 自从
和[和[X+∣乙]+和[X−∣乙]]=和[和[X+∣乙]+和[X−∣乙],Ω]=和[X++X−,Ω]<∞,
我们看到和[X+∣乙]<∞和和[X−∣乙]<∞因此让是=和[X+∣乙] −和[X−∣乙], 我们看到是是满足条件的可积随机变量1和2.

假设是′是满足条件的可积随机变量1和2. 然后我们看到\left{Y>Y^{\prime}\right} \in \mathcal{G}\left{Y>Y^{\prime}\right} \in \mathcal{G}, 然后\begin{对齐} E\left[YY^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] &=E\left[Y,\left{Y>Y^{\ prime}\right}\right]-E\left[Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] \ &=E\left[X,\left{Y >Y^{\prime}\right}\right]-E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]=0 \end{aligned}\begin{对齐} E\left[YY^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] &=E\left[Y,\left{Y>Y^{\ prime}\right}\right]-E\left[Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] \ &=E\left[X,\left{Y >Y^{\prime}\right}\right]-E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]=0 \end{aligned}
这意味着磷(是>是′)=0. 同样,我们看到磷(是′>是)=0. 所以我们得到磷(是=是′)=1.

我们还表示和[X∣G]可积随机变量是在推论 1.3.1 中。注意和[X∣G]在任何一种情况下都几乎可以肯定地确定X是非负随机变量或X是一个可积的随机变量。
我们称之为和[X∣G]的条件期望X给定一个子σ-代数G.
对于任何一种∈F,我们表示和[1一种∣G]经过磷(一种∣G)我们称之为事件的条件概率一种给定一个子σ-代数G.

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