如果你也在 怎样代写弦论string theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。弦论string theory在物理学中是一个理论框架，其中粒子物理学中的点状粒子被称为弦的一维物体取代。弦理论描述了这些弦如何在空间传播并相互作用。在大于弦的距离尺度上，弦看起来就像一个普通的粒子，其质量、电荷和其他属性由弦的振动状态决定。在弦理论中，弦的许多振动状态之一对应于引力子，一种携带引力的量子力学粒子。因此，弦理论是一种量子引力的理论。
弦论string theory是一个广泛而多样的学科，它试图解决基础物理学的一些深层次问题。弦理论为数学物理学贡献了许多进展，这些进展被应用于黑洞物理学、早期宇宙宇宙学、核物理学和凝聚态物理学中的各种问题，它也刺激了纯数学的一些重大发展。由于弦理论有可能提供对引力和粒子物理学的统一描述，它是万物理论的候选者，是描述所有基本力量和物质形式的独立数学模型。尽管在这些问题上做了很多工作，但目前还不知道弦理论在多大程度上描述了现实世界，也不知道该理论在选择其细节方面允许多大的自由度。
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物理代写|弦论代写string theory代考|超引力代写supergravity|Supersymmetric action on the worldsheet
We introduce $D$ Majorana fermions $\psi_{A}^{\mu}(\sigma, \tau), \mu=0,1, \ldots, D-1$, where $A$ denotes worldsheet spinor indices so it takes two values. Thus for every fixed value of $A$ the $\psi_{A}^{\mu}(\sigma, \tau)$ is a vector under the Lorentz group $S O(D-1,1)$ and for every fixed value of $\mu$ the $\psi_{A}^{\mu}(\sigma, \tau)$ is a spinor with respect to the worldsheet. The Lorentz group $S O(D-1,1)$ is an internal symmetry group from the worldsheet point of view. The $\psi_{A}^{\mu}(\sigma, \tau)$ are internal degrees of freedom that are free to propagate along the string. Consider the action
$$
S=-\frac{1}{2 \pi} \int d^{2} \sigma\left(\partial_{\alpha} X^{\mu} \partial^{\alpha} X_{\mu}-\dot{i} \bar{\psi}^{\mu} \rho^{\alpha} \partial_{\alpha} \psi_{\mu}\right), \quad \bar{\psi}=\psi^{+} \rho^{0}
$$
The 2-dimensional Dirac matrices are defined by
$$
\rho^{0}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -i \
i & 0
\end{array}\right), \quad \rho^{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & i \
i & 0
\end{array}\right) .
$$
We have
$$
\left{\rho^{\alpha}, \rho^{\beta}\right}=-2 h^{\alpha \beta}, \quad h^{\alpha \beta}=\operatorname{diag}(-1,1) .
$$
The matrices $i \rho^{\alpha}$ are real and hence the Dirac operator $i \rho^{\alpha} \partial_{\alpha}$ is real. Thus we can take the components of the worldsheet spinors $\psi^{\mu}(\sigma, \tau)$ to be real. The real spinors $\psi^{\mu}(\sigma, \tau)$ are therefore Majorana spinors. They satisfy
$$
\bar{\psi} \chi=\bar{\chi} \psi .
$$
The equal $\tau$ commutation relations of the bosonic coordinates are
$$
\left[X^{\mu}(\sigma), \partial_{\tau} X^{\nu}\left(\sigma^{\prime}\right)\right]=i \pi \eta^{\mu \nu} \delta\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right) .
$$
The Lorentz metric $\eta^{\mu \nu}$ is not positive definite since $\eta^{00}=-1$ and as a consequence the $X^{0}$ oscillators create modes of wrong metric which are the ghosts. On the other hand the action has an infinite-dimensional Virasoro symmetry algebra. As we have shown, we can use these symmetries to eliminate the ghosts in the critical dimension $D=26$.
物理代写|弦论代写string theory代考|超引力代写supergravity|Energy–momentum tensor and supercurrent
Supercurrent
Let us recall that the variation of the fermion action under supersymmetry is given by
$$
\begin{aligned}
\delta S_{F} &=\frac{i}{\pi} \int d^{2} \sigma \bar{\psi}^{\mu} \rho^{\alpha} \partial_{\alpha} \delta \psi_{\mu} \
&=-\delta S_{B}+\frac{1}{\pi} \int d^{2} \sigma \bar{\psi}^{\mu} \rho^{\alpha} \rho^{\beta} \partial_{\beta} X_{\mu} \partial_{\alpha} \epsilon .
\end{aligned}
$$
In the above we assumed that $\epsilon$ is not constant. Thus we have
$$
\begin{aligned}
\delta S &=\frac{1}{\pi} \int d^{2} \sigma \partial_{\alpha} \bar{\epsilon} \rho^{\beta} \rho^{\alpha} \partial_{\beta} X^{\mu} \psi_{\mu} \
&=\frac{2}{\pi} \int d^{2} \sigma \partial_{\alpha} \bar{\epsilon} J^{\alpha} .
\end{aligned}
$$
We derive the conserved supercurrent
$$
J^{\alpha}=\frac{1}{2} \rho^{\beta} \rho^{\alpha} \partial_{\beta} X^{\mu} \psi_{\mu} .
$$
Since $\rho^{\alpha} \rho_{\alpha}=-2$ we get $\rho_{\alpha} \rho^{\beta} \rho^{\alpha}=0$ and hence $\rho_{\alpha} J^{\alpha}=0$.
The fermion’s equation of motion is
$$
\rho^{a} \partial_{a} \psi^{\mu}=0 .
$$
In terms of $\sigma^{\pm}=\tau \pm \sigma, \partial_{\pm}=\frac{1}{2}\left(\partial_{\tau} \pm \partial_{\sigma}\right)$ we can put the above equation of motion in the form
$$
\partial_{-} \psi_{+}^{\mu}=\partial_{+} \psi_{-}^{\mu}=0 .
$$
The components $\psi_{\pm}$are defined by
$$
\psi=\left(\begin{array}{l}
\psi_{-} \
\psi_{+}
\end{array}\right) .
$$
The supersymmetry transformations relating fermions and bosons can be exhibited by contrasting (5.38) with the boson’s equation of motion
$$
\partial_{-}\left(\partial_{+} X^{\mu}\right)=\partial_{+}\left(\partial_{-} X^{\mu}\right)=0 .
$$
Explicitly we compute
$$
J_{0}=\left(\begin{array}{l}
-\partial_{-} X_{\mu} \psi_{-}^{\mu} \
-\partial_{+} X_{\mu} \psi_{+}^{\mu}
\end{array}\right), \quad J_{1}=\left(\begin{array}{c}
\partial_{-} X_{\mu} \psi_{-}^{\mu} \
-\partial_{+} X_{\mu} \psi_{+}^{\mu}
\end{array}\right)
$$
Hence
$$
J_{+}=-\frac{1}{2}\left(J_{0}+J_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \
\partial_{+} X_{\mu} \psi_{+}^{\mu}
\end{array}\right), \quad J_{-}=-\frac{1}{2}\left(J_{0}+J_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}
\partial_{-} X_{\mu} \psi_{-}^{\mu} \
0
\end{array}\right)
$$
Clearly
$$
\partial_{+} J_{-}=\partial_{-} J_{+}=0 .
$$
The energy-momentum tensor
To derive the energy-momentum tensor we need more work. The covariant bosonic action is given by
$$
S_{B}=-\frac{1}{2 \pi} \int_{\Sigma} d^{2} \sigma \sqrt{-h} h^{a b} \partial_{a} X^{\mu} \partial_{b} X_{\mu}
$$
物理代写|弦论代写STRING THEORY代考|超引力代写SUPERGRAVITY|Super-Virasoro constraints
We found the covariant action
$$
S_{2}=-\frac{1}{2 \pi} \int d^{2} \sigma \sqrt{-h}\left(h^{a b} \partial_{a} X^{\mu} \partial_{b} X_{\mu}-\dot{i} \bar{\psi}^{\mu} e_{A}^{a} \rho^{A} \partial_{a} \psi_{\mu}\right) .
$$
As we said, it is invariant (a) under reparametrizations of the worldsheet, i.e. the two-dimensional general coordinates transformations, and (b) under local twodimensional Lorentz transformations. This action also has the Weyl transformations
$$
\delta X^{\mu}=0, \quad \delta \psi^{\mu}=-\frac{1}{2} \Lambda \psi^{\mu}, \quad \delta e_{a}^{A}=\Lambda e_{a}^{A} .
$$
Under these transformations we have
$$
\delta h_{a b}=2 \Lambda h_{a b}, \quad \delta h^{a b}=-2 \Lambda h^{a b}, \quad \delta \sqrt{-h}=2 \Lambda \sqrt{-h} .
$$
Let us now consider the supersymmetric transformations
$$
\begin{aligned}
&\delta X^{\mu}=\bar{\epsilon} \psi^{\mu} \
&\delta \psi^{\mu}=-i \rho^{\alpha} \partial_{\alpha} X^{\mu} \epsilon
\end{aligned}
$$
We want to obtain a local supersymmetry, i.e. a supergravity theory. The variation of the action $S_{2}$ with $\epsilon$ being not a constant is given by
$$
\delta S_{2}=\frac{2}{\pi} \int d^{2} \sigma \sqrt{-h} \nabla_{\alpha} \bar{\epsilon} J^{\alpha}, \quad J^{\alpha}=\frac{1}{2} \rho^{\beta} \rho^{\alpha} \partial_{\beta} X^{\mu} \Psi_{\mu} .
$$
We introduce a supersymmetry gauge field $\chi_{\alpha}\left(\alpha\right.$ is the vector index and $\chi_{\alpha}$ for a given value of $\alpha$ is a spinor) with supersymmetry transformation
$$
\delta \chi_{\alpha}=\nabla_{\alpha} \epsilon
$$
The variation $\delta S_{2}$ can be cancelled by a variation with respect to $\chi_{\alpha}$ of the action
$$
S_{3}=-\frac{2}{\pi} \int d^{2} \sigma \sqrt{-h} \bar{\chi}_{\alpha} J^{\alpha} .
$$
弦论超引力代写
物理代写|弦论代写STRING THEORY代考|超引力代写SUPERGRAVITY|SUPERSYMMETRIC ACTION ON THE WORLDSHEET
我们介绍D马约拉纳费米子ψ一种μ(σ,τ),μ=0,1,…,D−1， 在哪里一种表示世界表旋量指数，所以它有两个值。因此对于每个固定值一种这ψ一种μ(σ,τ)是 Lorentz 群下的向量小号这(D−1,1)并且对于每个固定值μ这ψ一种μ(σ,τ)是关于世界表的旋量。洛伦兹组小号这(D−1,1)是从世界表的角度来看的一个内部对称群。这ψ一种μ(σ,τ)是沿弦自由传播的内部自由度。考虑行动
小号=−12圆周率∫d2σ(∂一种Xμ∂一种Xμ−一世˙ψ¯μρ一种∂一种ψμ),ψ¯=ψ+ρ0
二维狄拉克矩阵由下式定义
ρ0=(0−一世 一世0),ρ1=(0一世 一世0).
我们有
\left{\rho^{\alpha}, \rho^{\beta}\right}=-2 h^{\alpha \beta}, \quad h^{\alpha \beta}=\operatorname{diag}( -1,1) 。\left{\rho^{\alpha}, \rho^{\beta}\right}=-2 h^{\alpha \beta}, \quad h^{\alpha \beta}=\operatorname{diag}( -1,1) 。
矩阵一世ρ一种是真实的，因此是狄拉克算子一世ρ一种∂一种是真实的。因此我们可以取世界表旋量的分量ψμ(σ,τ)要真实。真正的旋转器ψμ(σ,τ)因此是马约拉纳旋量。他们满足
ψ¯χ=χ¯ψ.
平等的τ玻色子坐标的对易关系为
[Xμ(σ),∂τXν(σ′)]=一世圆周率这μνd(σ−σ′).
洛伦兹度量这μν不是肯定的，因为这00=−1因此，X0振荡器会产生错误度量的模式，即幽灵。另一方面，该作用具有无限维 Virasoro 对称代数。正如我们所展示的，我们可以使用这些对称性来消除临界维度中的重影D=26.
物理代写|弦论代写STRING THEORY代考|超引力代写SUPERGRAVITY|ENERGY–MOMENTUM TENSOR AND SUPERCURRENT
超电流
让我们回想一下，超对称下费米子作用的变化由下式给出
d小号F=一世圆周率∫d2σψ¯μρ一种∂一种dψμ =−d小号乙+1圆周率∫d2σψ¯μρ一种ρb∂bXμ∂一种ε.
在上面我们假设ε不是恒定的。因此我们有
d小号=1圆周率∫d2σ∂一种ε¯ρbρ一种∂bXμψμ =2圆周率∫d2σ∂一种ε¯Ĵ一种.
我们推导出守恒的超电流
Ĵ一种=12ρbρ一种∂bXμψμ.
自从ρ一种ρ一种=−2我们得到ρ一种ρbρ一种=0因此ρ一种Ĵ一种=0.
费米子的运动方程是
ρ一种∂一种ψμ=0.
按照σ±=τ±σ,∂±=12(∂τ±∂σ)我们可以把上面的运动方程写成
∂−ψ+μ=∂+ψ−μ=0.
组件ψ±定义为
ψ=(ψ− ψ+).
与费米子和玻色子相关的超对称变换可以通过对比来展示5.38用玻色子运动方程
∂−(∂+Xμ)=∂+(∂−Xμ)=0.
我们明确地计算
Ĵ0=(−∂−Xμψ−μ −∂+Xμψ+μ),Ĵ1=(∂−Xμψ−μ −∂+Xμψ+μ)
因此
Ĵ+=−12(Ĵ0+Ĵ1)=(0 ∂+Xμψ+μ),Ĵ−=−12(Ĵ0+Ĵ1)=(∂−Xμψ−μ 0)
清楚地
∂+Ĵ−=∂−Ĵ+=0.
能量-动量张量
要导出能量-动量张量，我们需要做更多的工作。协变玻色子作用由下式给出
小号乙=−12圆周率∫Σd2σ−HH一种b∂一种Xμ∂bXμ
物理代写|弦论代写STRING THEORY代考|超引力代写SUPERGRAVITY|SUPER-VIRASORO CONSTRAINTS
我们找到了协变作用
小号2=−12圆周率∫d2σ−H(H一种b∂一种Xμ∂bXμ−一世˙ψ¯μ和一种一种ρ一种∂一种ψμ).
正如我们所说，它是不变的一种在世界表的重新参数化下，即二维一般坐标变换，以及b在局部二维洛伦兹变换下。这个动作也有外尔变换
dXμ=0,dψμ=−12Λψμ,d和一种一种=Λ和一种一种.
在这些转变下，我们有
dH一种b=2ΛH一种b,dH一种b=−2ΛH一种b,d−H=2Λ−H.
现在让我们考虑超对称变换
dXμ=ε¯ψμ dψμ=−一世ρ一种∂一种Xμε
我们想得到一个局部超对称性，即超引力理论。动作的变化小号2和ε不是常数由下式给出
d小号2=2圆周率∫d2σ−H∇一种ε¯Ĵ一种,Ĵ一种=12ρbρ一种∂bXμΨμ.
我们引入一个超对称规范场χ一种(一种是向量索引和χ一种对于给定的值一种是一个旋量）具有超对称变换
dχ一种=∇一种ε
变化d小号2可以通过相对于的变化来取消χ一种行动的
小号3=−2圆周率∫d2σ−Hχ¯一种Ĵ一种.
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