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数学代写|偏微分方程作业代写Partial Differential Equations代考|A Touch of Numerics, I: Computing the Solution of the Transport Equation

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations是一个方程,它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。该函数通常被认为是一个有待解决的 “未知数”,类似于x被认为是代数方程(如x2-3x+2=0)中有待解决的一个未知数。因此,在现代数学和科学研究中,有大量使用计算机对某些偏微分方程的解进行数值近似的方法。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域,如物理学和工程学中无处不在。例如,它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学(薛定谔方程、保利方程等)的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑,如微分几何和变分计算;在其他值得注意的应用中,它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。

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我们提供的偏微分方程Partial Differential Equations及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

调和函数 harmonic function

椭圆方程 elliptic equation

抛物方程 Parabolic equation

双曲方程 Hyperbolic equation

非线性方法 nonlinear method

变分法 Calculus of Variations

几何分析 geometric analysis

偏微分方程数值解 Numerical solution of partial differential equations

数学代写|偏微分方程作业代写Partial Differential Equations代考|A Touch of Numerics, I: Computing the Solution of the Transport Equation

数学代写|偏微分方程作业代写Partial Differential Equations代考|Three Consistent Schemes

We begin by discretizing space and time. This means that we replace the continuums of space and time with a finite, or at most countable, collection of positions and times. Specifically, we do the following:

  • Fix values of $\Delta x>0$ and $\Delta t>0$ called the spatial and temporal step size.
  • Consider “grid points” $x_{j}=j \Delta x$ and $t_{n}=n \Delta t$ with $j=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ and $n=$ $0,1,2, \ldots$.

Numerically computing the solution means that we find (approximate) values of the true solution at these particular values of $x$ and $t$. That is, we then attempt to find the solution at the grid points
$$
U_{j}^{n}:=u(j \Delta x, n \Delta t) .
$$
In the finite difference method, we approximate the values of the partial derivatives at a grid point, based upon values at neighboring grid points. For example, a natural way to approximate $u_{t}$ is by a forward finite difference
$$
u_{t}(j \Delta x, n \Delta t) \approx \frac{u(j \Delta x, n \Delta t+\Delta t)-u(j \Delta x, n \Delta t)}{\Delta t}=\frac{U_{j}^{n+1}-U_{j}^{n}}{\Delta t} .
$$

数学代写|偏微分方程作业代写Partial Differential Equations代考|von Neumann Stability Analysis

We are interested in the propagation of small errors at different grid points. If these errors are not controlled at each stage of the time iteration, they can grow and create a solution completely different from the desired solution at a later time (achieved by many time iterations). So what do we mean when we say “controlled”. To this end, we follow von Neumann ${ }^{13}$ stability analysis. We start with an initial pulse which has bounded size but oscillates with a frequency $k$, for example $\sin k x$ or $\cos k x$. From the perspective of the algebra, it is more convenient to just take a complex exponential (cf. Section 6.1) $e^{i k x}=\cos k x+i \sin k x$, for some $k \in \mathbb{R}$. The size of such a complex-valued pulse is given by its modulus, and note that $\left|e^{i k x}\right|=1$. We then look at the growth in size when applying the scheme once to $e^{i k x}$, captured by an amplification constant called the growth factor. Let us illustrate these steps with the backward difference in space scheme (2.50). At time step $n$, we take
$$
U_{j}^{n}=e^{i k(j \Delta x)}, \quad j \in \mathbb{Z},
$$
noting that
$$
U_{j-1}^{n}=e^{i k(j \Delta x)} e^{-i k \Delta x}, \quad j \in \mathbb{Z} .
$$
Applying scheme (2.50) we find that
$$
\begin{aligned}
U_{j}^{n+1} &=U_{j}^{n}-r\left(U_{j}^{n}-U_{j-1}^{n}\right) \
&=e^{i k(j \Delta x)}-r\left(e^{i k(j \Delta x)}-e^{i k(j \Delta x)} e^{-i k \Delta x}\right) \
&=\left(1-r+r e^{-i k \Delta x}\right) e^{i k(j \Delta x)}
\end{aligned}
$$

数学代写|偏微分方程作业代写Partial Differential Equations代考|A Touch of Numerics, I: Computing the Solution of the Transport Equation

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程作业代写PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS代考|THREE CONSISTENT SCHEMES

我们首先将空间和时间离散化。这意味着我们用有限的或最多可数的位置和时间的集合来代替空间和时间的连续体。具体来说,我们执行以下操作:

  • 固定值ΔX>0和Δ吨>0称为空间和时间步长。
  • 考虑“网格点”Xj=jΔX和吨n=nΔ吨和j=0,±1,±2,…和n= 0,1,2,….

数值计算解决方案意味着我们发现一种ppr这X一世米一种吨和在这些特定值的真实解决方案的值X和吨. 也就是说,我们然后尝试在网格点处找到解决方案
在jn:=在(jΔX,nΔ吨).
在有限差分法中,我们根据相邻网格点的值来近似网格点的偏导数。例如,一种自然的近似方法在吨是前向有限差​​分
在吨(jΔX,nΔ吨)≈在(jΔX,nΔ吨+Δ吨)−在(jΔX,nΔ吨)Δ吨=在jn+1−在jnΔ吨.

数学代写|偏微分方程作业代写PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS代考|VON NEUMANN STABILITY ANALYSIS

我们对不同网格点的小误差的传播感兴趣。如果这些错误在时间迭代的每个阶段都没有得到控制,它们可能会增长并在以后创建与所需解决方案完全不同的解决方案一种CH一世和在和db是米一种n是吨一世米和一世吨和r一种吨一世这ns. 那么,当我们说“受控”时,我们的意思是什么。为此,我们跟随冯诺依曼13稳定性分析。我们从一个初始脉冲开始,该脉冲具有一定的大小但以一定的频率振荡ķ, 例如罪⁡ķX或者因⁡ķX. 从代数的角度来看,只取一个复指数比较方便CF.小号和C吨一世这n6.1 和一世ķX=因⁡ķX+一世罪⁡ķX, 对于一些ķ∈R. 这种复值脉冲的大小由其模数给出,并注意|和一世ķX|=1. 然后我们在应用该方案一次时查看大小的增长和一世ķX,由称为生长因子的放大常数捕获。让我们用空间方案的后向差异来说明这些步骤2.50. 在时间步n, 我们采取
在jn=和一世ķ(jΔX),j∈从,
注意到
在j−1n=和一世ķ(jΔX)和−一世ķΔX,j∈从.
申请方案2.50我们发现
$$
\begin{aligned}
U_{j}^{n+1} &=U_{j}^{n}-r\left(U_{j}^{n}-U_{j-1}^{n}\right) \
&=e^{i k(j \Delta x)}-r\left(e^{i k(j \Delta x)}-e^{i k(j \Delta x)} e^{-i k \Delta x}\right) \
&=\left(1-r+r e^{-i k \Delta x}\right) e^{i k(j \Delta x)}
\end{aligned}
$$

数学代写|偏微分方程作业代写Partial Differential Equations代考

数学代写|偏微分方程作业代写Partial Differential Equations代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

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