如果你也在 怎样代写组合数学Combinatorial Mathematics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合数学Combinatorial Mathematics是数学的一个领域，主要涉及计数，作为获得结果的手段和目的，以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关，有许多应用，从逻辑学到统计物理学，从进化生物学到计算机科学。
组合数学Combinatorial Mathematics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，]以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上都是孤立考虑的，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。
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Our first two Principles are sometimes called “ad hoc” counting techniques. Nothing sophisticated is involved; we merely organize the set to simplify counting it, breaking the problem into smaller pieces.
1.1.1. Sum Principle: If a finite set $A$ is partitioned into sets $B_{1}, \ldots, B_{k}$, then $|A|=\sum_{i=1}^{k}\left|B_{i}\right|$.
Recall that a partition of $A$ is a family of disjoint nonempty sets whose union is $A$. This principle applies when a counting problem is broken into cases and is also called Counting by Cases.
1.1.2. Product Principle: If elements of a set A are built by successive choices and the number of options for the ith choice is independent of the outcomes of earlier choices, then $|A|$ is the product of the numbers of options for the choices. This principle is also called Counting by Stages. The actual options at the $i$ th stage may depend on earlier choices, but the number of options does not. The formula $|S \times T|=|S||T|$ for counting a cartesian product is a simple application of this principle.
1.1.3. Example. There are $\prod_{i=0}^{n-1}(2 n-1-2 i)$ ways to pair $2 n$ people. The first person can be paired with another in $2 n-1$ ways. No matter how this choice is made, we can take the least indexed unpaired person and choose a partner for that person from the remaining people in $2 n-3$ ways. Continuing through $n$ stages in this way produces $\prod_{i=0}^{n-1}(2 n-1-2 i)$ distinct pairings, and every pairing is produced in this way. The 15 pairings for $n=3$ appear below.
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Using the Sum and Product Principles in a counting problem may produce sums involving binomial coefficients. Standard formulas called identities can help evaluate such sums.
Proofs of identities using induction or factorial formulas may involve tedious manipulation. Combinatorial arguments can provide deeper understanding and more information. Algebraic arguments (such as manipulating an identity) may be easier to find; Graham-Knuth-Patashnik [1989] presents many. We focus first on combinatorial arguments and introduce other techniques later.
LATTICE PATHS AND PASCAL’S TRIANGLE
An argument by counting two ways shows that both sides of an identity count the same set. The difficulty is devising an appropriate set. Arguments for sums involving $n^{k}$ often use the set of $n$-ary $k$-tuples (words of length $k$ from an alphabet of size $n$ ). There are several equivalent models for a set counted by $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$; an argument using one can be translated into the others. We have discussed models involving subsets and binary lists; next we introduce the lattice path model.
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|Applications
Proving identities provides plenty of opportunity for clever combinatorial arguments, but often we want to count a new set rather than explain a given formula. In this section we study several problems of this type.
GRAPHS AND TREES
A special case of Proposition 1.1.13 is that every $k$-element set has $2^{k}$ subsets. We apply this to count graphs (see Chapter 0 for basic definitions about graphs).
1.3.1. Corollary. There are $2^{\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)}$ graphs with vertex set $[n]$.
Proof: Each edge is an unordered pair of vertices, and a graph with a specified vertex set is determined by choosing a family of vertex pairs as the edge set. There are $\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)$ pairs of vertices to choose from.
We next count the trees (connected graphs without cycles) with vertex set $[n]$. Such trees have $n-1$ edges and arise from a single vertex by iteratively adding a new leaf with one old neighbor (see Chapter 0 ).
组合数学代写
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我们的前两个原则有时被称为“临时”计数技术。没有任何复杂的内容。我们只是组织集合以简化计数，将问题分解成更小的部分。
1.1.1。求和原理：如果一个有限集一种被划分为集合乙1,…,乙ķ， 然后|一种|=∑一世=1ķ|乙一世|.
回想一下，一个分区一种是一个不相交的非空集族，其并集为一种. 此原则适用于将计数问题分解为案例的情况，也称为按案例计数。
1.1.2。乘积原理：如果集合 A 的元素是由连续选择构建的，并且第 i 个选择的选项数量与先前选择的结果无关，则|一种|是选项的选项数量的乘积。这一原则也称为分阶段计数。实际选项一世第一个阶段可能取决于早期的选择，但选项的数量不取决于。公式|小号×吨|=|小号||吨|计算笛卡尔积是该原理的简单应用。
1.1.3。例子。有∏一世=0n−1(2n−1−2一世)配对方式2n人们。第一个人可以与另一个人配对2n−1方法。不管这个选择是如何做出的，我们可以选择索引最少的未配对的人，并从剩下的人中为那个人选择一个合作伙伴2n−3方法。继续通过n以这种方式产生的阶段∏一世=0n−1(2n−1−2一世)不同的配对，每个配对都是以这种方式产生的。15对n=3出现在下方。
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在计数问题中使用和乘积原理可能会产生涉及二项式系数的和。称为恒等式的标准公式可以帮助评估这些总和。
使用归纳或阶乘公式的身份证明可能涉及繁琐的操作。组合论证可以提供更深入的理解和更多的信息。代数论证s在CH一种s米一种n一世p在l一种吨一世nG一种n一世d和n吨一世吨是可能更容易找到；格雷厄姆-克努特-帕塔什尼克1989提出了许多。我们首先关注组合论证，然后介绍其他技术。
格子路径和帕斯卡三角形
通过计算两种方式的论证表明，恒等式的两边都计算相同的集合。困难在于设计一个合适的集合。涉及金额的论据nķ经常使用集合n-和ķ-元组在这rds这Fl和nG吨H$ķ$Fr这米一种n一种lpH一种b和吨这Fs一世和和$n$. 对于一个集合有几个等效模型(n ķ); 使用一个的论点可以翻译成其他的。我们已经讨论了涉及子集和二进制列表的模型；接下来我们介绍点阵路径模型。
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证明恒等式为巧妙的组合论证提供了大量机会，但我们通常希望计算一个新集合而不是解释给定的公式。在本节中，我们研究了这种类型的几个问题。
图和树
命题 1.1.13 的一个特例是，每个ķ-元素集有2ķ子集。我们将此应用于计数图s和和CH一种p吨和r0F这rb一种s一世Cd和F一世n一世吨一世这ns一种b这在吨Gr一种pHs.
1.3.1。推论。有2(n 2)带顶点集的图[n].
证明：每条边都是一个无序的顶点对，通过选择一个顶点对族作为边集来确定具有指定顶点集的图。有(n 2)可供选择的顶点对。
接下来我们数一数树木C这nn和C吨和dGr一种pHs在一世吨H这在吨C是Cl和s有顶点集[n]. 这样的树有n−1边，并通过迭代添加一个新叶子和一个旧邻居从单个顶点产生s和和CH一种p吨和r0.
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