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组合数学Combinatorial Mathematics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，]以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上都是孤立考虑的，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。
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数学代写|组合数学作业代写Combinatorial Mathematics代考|Matching in Bipartite Graph
Filling jobs with qualified applicants is a matching problem in a bipartite graph. The parts are the jobs and the applicants; the edges record which applicants can do which jobs. We ask whether some matching fills all the jobs.
6.1.1. Remark. We can restate the job-filling problem using sets. For the $i$ th job, there is a set $A_{i}$ of qualified applicants. The problem is to find a system of distinct representatives (SDR) of the sets $A_{1}, \ldots, A_{n}$, meaning distinct elements $z_{1}, \ldots, z_{n}$ such that $z_{i} \in A_{i}$ for all $i$.
The two problems are equivalent; an SDR of a family of sets corresponds to a matching covering $X$ in a natural bipartite graph. The incidence graph of a family $A_{1}, \ldots, A_{n}$ is the $X, Y$-bigraph with $X=\left{A_{1}, \ldots, A_{n}\right}$ and $Y=\bigcup_{i \in[n]} A_{i}$ such that $A_{i} \in X$ is adjacent to $y \in Y$ if and only if $y \in A_{i}$. An SDR with $z_{i}$ representing $A_{i}$ for all $i$ corresponds to the matching $\left{A_{i} z_{i}: i \in[n]\right}$; we use this correspondence freely.
In discussing matchings covering $X$, we have used $n$ for $|X|$. When there are $n$ sets and $n$ elements, the matrix of the membership relation between the sets and the elements is a $(0,1)$-matrix of order $n$. An SDR then corresponds to a permutation of $[n]$ that maps indices in one part into indices of the matched vertices in the other part. Hence in the context of bipartite matching with parts of equal size, it is convenient to let the total number of vertices be $2 n$.
数学代写|组合数学作业代写Combinatorial Mathematics代考|Matching in General
The matching theorems that we proved for bipartite graphs do not hold for general graphs.
6.2.1. Example. Odd cycles. Note that $\alpha\left(C_{2 k+1}\right)=\alpha^{\prime}\left(C_{2 k+1}\right)=k$, but $\beta\left(C_{2 k+1}\right)=$ $\beta^{\prime}\left(C_{2 k+1}\right)=k+1$. That is, the min-max relations fail. Also Hall’s Theorem fails: although $C_{2 k+1}$ satisfies ” $|N(S)| \geq|S|$ for all $S \subseteq V(G)$ ” (see Exercise 6.1.8), it has no perfect matching.
Nevertheless, we still seek a necessary and sufficient condition for the existence of a perfect matching in a general graph.
6.2.2. Definition. For $k \in \mathbb{N}$, a $k$-factor in a graph $G$ is a $k$-regular spanning subgraph of $G$. In the context of factors, let an odd component of a graph be a component of odd order (odd number of vertices). We use $o(H)$ to denote the number of odd components of a graph $H$.
A perfect matching is a set of edges; a 1-factor is a subgraph whose edge set is a perfect matching. The terms are almost interchangeable.
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|AlgorithmiC ASPECTS
Min-max relations guarantee short proofs of optimality by exhibiting solutions to dual problems. However, we still must find optimal solutions. The needed tool for maximum matching is augmenting paths. We will use them to give a fast algorithm for bipartite matching and then consider more general weighted versions of the dual matching and vertex cover problems.
组合数学代写
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|MATCHING IN BIPARTITE GRAPH
用合格的申请人填补工作是二分图中的一个匹配问题。部分是工作和申请人；边缘记录了哪些申请人可以做哪些工作。我们询问是否有一些匹配可以填补所有的工作。
6.1.1. 评论。我们可以使用集合来重申工作填补问题。为了一世工作，有一套一种一世合格的申请人。问题是要找到一个具有不同代表的系统小号DR的集合一种1,…,一种n, 表示不同的元素和1,…,和n这样和一世∈一种一世对全部一世.
这两个问题是等价的；一个集合族的 SDR 对应于一个匹配覆盖X在自然二分图中。一个家庭的发病率图一种1,…,一种n是个X,是-bigraph 与X=\left{A_{1}, \ldots, A_{n}\right}X=\left{A_{1}, \ldots, A_{n}\right}和是=⋃一世∈[n]一种一世这样一种一世∈X毗邻是∈是当且仅当是∈一种一世. 一个特别提款权与和一世代表一种一世对全部一世对应匹配\left{A_{i} z_{i}: i \in[n]\right}\left{A_{i} z_{i}: i \in[n]\right}; 我们自由地使用这种对应关系。
在讨论匹配覆盖X，我们使用了n为了|X|. 当有n集和n元素，集合与元素之间的隶属关系矩阵为(0,1)- 顺序矩阵n. 一个 SDR 然后对应于一个排列[n]将一部分中的索引映射到另一部分中匹配顶点的索引。因此，在具有相同大小的部分的二分匹配的情况下，可以方便地让顶点的总数为2n.
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|MATCHING IN GENERAL
我们为二部图证明的匹配定理不适用于一般图。
6.2.1. 例子。奇数周期。注意一种(C2ķ+1)=一种′(C2ķ+1)=ķ， 但b(C2ķ+1)= b′(C2ķ+1)=ķ+1. 也就是说，最小-最大关系失败。霍尔定理也失败了：虽然C2ķ+1满足”|ñ(小号)|≥|小号|对全部小号⊆在(G) ” s和和和X和rC一世s和6.1.8，它没有完美匹配。
尽管如此，我们仍然在寻找一般图中完美匹配存在的充分必要条件。
6.2.2. 定义。为了ķ∈ñ， 一种ķ- 图表中的因素G是一个ķ- 的正则跨越子图G. 在因子的上下文中，让图的奇数分量是奇数阶的分量这ddn在米b和r这F在和r吨一世C和s. 我们用这(H)表示图的奇数分量H.
完美匹配是一组边；1-factor 是边集完美匹配的子图。这些术语几乎可以互换。
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|ALGORITHMIC ASPECTS
最小-最大关系通过展示对偶问题的解决方案来保证最优性的简短证明。但是，我们仍然必须找到最佳解决方案。最大匹配所需的工具是增加路径。我们将使用它们为二分匹配提供快速算法，然后考虑对偶匹配和顶点覆盖问题的更一般的加权版本。
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