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组合数学Combinatorial Mathematics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，]以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上都是孤立考虑的，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。
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数学代写|组合数学作业代写Combinatorial Mathematics代考|Obtaining Recurren
Obtaining a recurrence for a counting problem usually involves bijective arguments. Some creativity may be needed; there is no algorithm. We give classical examples to illustrate typical arguments.
CLASSICAL EXAMPLES
In the simplest situation, our problem has one parameter, and we seek a single recurrence for the resulting counting sequence.
2.1.1. Example. Regions in the plane.
$$
a_{n}=a_{n-1}+n \text { for } n \geq 1 \text {, with } a_{0}=1 .
$$
Let an $n$-configuration be a set of $n$ lines in the plane such that every two lines have one common point but no three lines have a common point. Let $a_{n}$ be the number of regions formed by an $n$-configuration. It is not obvious that every $n$-configuration forms the same number of regions; this follows inductively when we establish a recurrence for $a_{n}$.
数学代写|组合数学作业代写Combinatorial Mathematics代考|Elementary Solut
Finding a recurrence for a counting sequence can be a step toward a solution formula. We next study methods for obtaining such formulas from recurrences. A simple formula for $a_{n}$ obtained from a recurrence may have an elegant direct combinatorial proof. Although we may then discard the recursive approach in presenting the final solution, solving the recurrence remains a useful tool.
Linear recurrence relations with constant coefficients can be solved by the characteristic equation method or the more versatile generating function method discussed later. When it applies, the first method is faster, abbreviating standard computations in the second method. It also closely parallels standard methods for elementary differential equations. In this discussion all recurrence relations are linear with constant coefficients, though we may neglect to say so.
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|Further Topics
We consider asymptotic solution of recurrences and a technique using recurrences to evaluate summations.
THE SUBSTITUTION METHOD
The substitution method reduces a recurrence to a simpler recurrence for a related sequence. In $a_{n}^{2}=a_{n-1}^{2}+2$, for example, we can substitute $b_{n}=a_{n}^{2}$, solve for $b_{n}$, and take its square root. In general, we let $b_{n}$ be a suitable function of $a_{n}$ and rewrite the recurrence in terms of $\langle b\rangle$.
2.3.1. Example. $a_{n}=n a_{n-1}+n$ ! for $n \geq 1$, with $a_{0}=1$. The recurrence is close to a recurrence for $n !$. This suggests letting $b_{n}=a_{n} / n !$ to obtain
$$
n ! b_{n}=n(n-1) ! b_{n-1}+n !,
$$
which simplifies to $b_{n}=b_{n-1}+1$. Since $a_{0}=1$, we have $b_{0}=1$, and hence the solution to the new recurrence is $b_{n}=n+1$. We obtain $a_{n}=(n+1)$ ! as the solution to the original recurrence.
2.3.2. Proposition. The number $D_{n}$ of derangements of $[n]$ is given by
$$
D_{n}=n ! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k !} \text {. }
$$
Proof: In Example 2.1.6 we showed $D_{n}=(n-1)\left(D_{n-1}+D_{n-2}\right)$ for $n \geq 2$, with $D_{0}=1$ and $D_{1}=0$. (Even without knowing $D_{0}$, given only $D_{1}$ and $D_{2}$, we can define $D_{0}$ to extend the region of validity of the recurrence.)
组合数学代写
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|OBTAINING RECURREN
获得计数问题的递归通常涉及双射论证。可能需要一些创造力；没有算法。我们给出经典的例子来说明典型的论点。
经典例子
在最简单的情况下，我们的问题有一个参数，我们为得到的计数序列寻找一个单一的递归。
2.1.1。例子。平面中的区域。
一种n=一种n−1+n 为了 n≥1， 和 一种0=1.
让一个n-配置是一组n平面上的线，使得每两条线有一个公共点，但没有三条线有公共点。让一种n是由一个形成的区域的数量n-配置。不是很明显每个n-配置形成相同数量的区域；当我们为一种n.
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|ELEMENTARY SOLUT
找到计数序列的重复可能是朝着解决公式迈出的一步。我们接下来研究从递归中获得此类公式的方法。一个简单的公式一种n从递归获得的可能有一个优雅的直接组合证明。虽然我们可能会在呈现最终解决方案时放弃递归方法，但求解递归仍然是一个有用的工具。
具有常数系数的线性递推关系可以通过特征方程法或稍后讨论的更通用的生成函数法来求解。当它适用时，第一种方法更快，缩短了第二种方法中的标准计算。它还与基本微分方程的标准方法非常相似。在这个讨论中，所有的递推关系都是具有常数系数的线性关系，尽管我们可能忽略了这样说。
数学代写|组合数学作业代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代考|FURTHER TOPICS
我们考虑递归的渐近解和使用递归来评估总和的技术。
替换方法
替换方法将相关序列的递归简化为更简单的递归。在一种n2=一种n−12+2，例如，我们可以替换bn=一种n2, 求解bn，并取其平方根。一般来说，我们让bn是一个合适的函数一种n并根据以下形式重写递归⟨b⟩.
2.3.1。例子。一种n=n一种n−1+n！为了n≥1， 和一种0=1. 复发接近于复发n!. 这建议让bn=一种n/n!获得
n!bn=n(n−1)!bn−1+n!,
这简化为bn=bn−1+1. 自从一种0=1， 我们有b0=1，因此新递归的解是bn=n+1. 我们获得一种n=(n+1)！作为原始复发的解决方案。
2.3.2. 主张。数字Dn的紊乱[n]是（谁）给的
Dn=n!∑ķ=0n(−1)ķķ!.
证明：在示例 2.1.6 中，我们展示了$D_{n}=(n-1)\left(D_{n-1}+D_{n-2}\right)$ for $n \geq 2$, with $D_{0}=1$ and $D_{1}=0$. (Even without knowing $D_{0}$, given only $D_{1}$ and $D_{2}$, we can define $D_{0}$
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