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数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Further topics in the finite element method

如果你也在 怎样代写有限元方法finite differences method这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。有限元方法finite differences method在数值分析中,是一类通过用有限差分逼近导数解决微分方程的数值技术。空间域和时间间隔(如果适用)都被离散化,或被分成有限的步骤,通过解决包含有限差分和附近点的数值的代数方程来逼近这些离散点的解的数值。

有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程(ODE)或偏微分方程(PDE)转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算,再加上其相对容易实现,使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天,FDM与有限元方法一样,是数值解决PDE的最常用方法之一。

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调和函数 harmonic function

椭圆方程 elliptic equation

抛物方程 Parabolic equation

双曲方程 Hyperbolic equation

非线性方法 nonlinear method

变分法 Calculus of Variations

几何分析 geometric analysis

偏微分方程数值解 Numerical solution of partial differential equations

数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Further topics in the finite element method

数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|The variational approach

We seek a finite element solution of the problem given by eqns (3.30)-(3.32), viz.
$-\operatorname{div}(k \operatorname{grad} u)=f(x, y) \quad$ in $D$,
with the Dirichlet boundary condition
$$
u=g(s) \text { on } C_{1}
$$
and the Robin boundary condition
$$
k(s) \frac{\partial u}{\partial n}+\sigma(s) u=h(s) \quad \text { on } C_{2}
$$
The functional for this problem is found from eqn (2.44) as
$$
I[u]=\iint_{D}\left{k\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+k\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}-2 u f\right} d x d y+\int_{C_{2}}\left(\sigma u^{2}-2 u h\right) d s
$$
and the solution, $u$, of eqns (5.1)-(5.3) is that function, $u_{0}$, which minimizes $I[u]$ subject to the essential boundary condition $u_{0}=g(s)$ on $C_{1}$.

数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Collocation and least squares methods

Recall the weighted residual method (Section 2.3) for the solution of
$$
\mathcal{L} u=f \quad \text { in } D
$$
subject to the boundary condition
$$
\mathcal{B} u=b \text { on } C .
$$
Define the residual
$$
r_{1}(\tilde{u})=\mathcal{L} \tilde{u}-f
$$
and the boundary residual
$$
r_{2}(\tilde{u})=\mathcal{B} \tilde{u}-b
$$
then eqn (2.23) suggests the following general weighted residual equations:
$$
\iint_{D} r_{1} v_{i} d x d y+\oint_{C_{2}} r_{2} v_{i} d s=0, \quad i=1, \ldots, n
$$
where $\left{v_{i}\right}$ is a set of linearly independent weighting functions which satisfy $v_{i} \equiv 0$ on $C_{1}$, that part of $C$ on which an essential boundary condition applies. The trial functions $\tilde{u}$ are defined in the usual piecewise sense by eqn (5.4) as
$$
\tilde{u}=\sum_{e} \tilde{u}^{e},
$$
with $\tilde{u}^{e}$ interpolated through element $[e]$ in terms of the nodal values. The equations (5.19) then yield a set of algebraic equations for these nodal values. Notice that no restriction is placed on the operator $\mathcal{L}$; it may be non-linear, in which case the resulting set of equations is a non-linear algebraic set; see Section 5.3. Very often, the equations (5.19) are transformed by the use of an integrationby-parts formula, Green’s theorem, so that the highest-order derivative occurring in the integrand is reduced, thus reducing the continuity requirement for the chosen trial function.

数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD代考|Use of Galerkin’s method for time-dependent and non-linear problems

When the finite element method is applied to time-dependent problems, the time variable is usually treated in one of two ways:
(1) Time is considered as an extra dimension, and shape functions in space and time are used. This is illustrated in Example 5.3.
(2) The nodal variables are considered as functions of time, and the space variables are used in the finite element analysis.

数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Further topics in the finite element method

有限元方法代写

数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD代考|THE VARIATIONAL APPROACH

我们寻求由 eqns 给出的问题的有限元解决方案3.30-3.32,即。
−div⁡(ķ毕业⁡在)=F(X,是)在D,
与狄利克雷边界条件
在=G(s) 在 C1
和 Robin 边界条件
ķ(s)∂在∂n+σ(s)在=H(s) 在 C2
这个问题的泛函是从 eqn 中找到的2.44作为
I[u]=\iint_{D}\left{k\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+k\left(\frac{\partial u}{\部分 y}\right)^{2}-2 u f\right} d x d y+\int_{C_{2}}\left(\sigma u^{2}-2 u h\right) d sI[u]=\iint_{D}\left{k\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+k\left(\frac{\partial u}{\部分 y}\right)^{2}-2 u f\right} d x d y+\int_{C_{2}}\left(\sigma u^{2}-2 u h\right) d s
和解决方案,在, 等式5.1-5.3是那个功能,在0,它最小化一世[在]服从基本边界条件在0=G(s)在C1.

数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD代考|COLLOCATION AND LEAST SQUARES METHODS

回忆一下加权残差法小号和C吨一世这n2.3为解决
大号在=F 在 D
受限于边界条件
乙在=b 在 C.
定义残差
r1(在~)=大号在~−F
和边界残差
r2(在~)=乙在~−b
然后 eqn2.23建议以下一般加权残差方程:
∬Dr1在一世dXd是+∮C2r2在一世ds=0,一世=1,…,n
在哪里\left{v_{i}\right}\left{v_{i}\right}是一组线性独立的加权函数,满足在一世≡0在C1, 那部分C在其上应用基本边界条件。试用功能在~由 eqn 在通常的分段意义上定义5.4作为
在~=∑和在~和,
和在~和通过元素插值[和]在节点值方面。方程5.19然后为这些节点值生成一组代数方程。请注意,对操作员没有任何限制大号; 它可能是非线性的,在这种情况下,得到的方程组是非线性代数集;见第 5.3 节。很多时候,方程5.19通过使用按部分积分公式、格林定理进行转换,从而减少了被积函数中出现的最高阶导数,从而减少了所选试验函数的连续性要求。

数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD代考|USE OF GALERKIN’S METHOD FOR TIME-DEPENDENT AND NON-LINEAR PROBLEMS

当有限元法应用于时间相关问题时,时间变量通常以两种方式之一处理:
1时间被认为是一个额外的维度,并使用空间和时间的形状函数。示例 5.3 对此进行了说明。
2节点变量被认为是时间的函数,空间变量被用于有限元分析。

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