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密码学cryptography实际上是加密的同义词，将信息从可读状态转换为不可理解的废话。加密信息的发送者只与预期的接收者分享解码技术，以排除对手的访问。密码学文献通常用Alice（”A”）代表发送者，Bob（”B”）代表预定接收者，Eve（”窃听者”）代表对手。 自从第一次世界大战中转子密码机的发展和第二次世界大战中计算机的出现，密码学方法变得越来越复杂，其应用也越来越多。
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数学代写|密码学作业代写cryptography代考|Pollard Rho Method
The heuristic Pollard Rho factorization algorithm, described in Section 7.2.1, can be adapted to solve the discrete logarithm problem when we are given the order of the group (i.e. the above DLKOP) (see Ref. [150]).
Let $G$ denote the (multiplicatively denoted) group, $n$ denote its order, $g$ and $y$ be two elements of $G$ such that we look for some integer $c$ such that $y=g^{c}$. The idea consists in managing a sequence of $(x, \alpha, \beta)$ triplets such that $x=g^{\alpha} y^{\beta}$. The sequence is obtained by some kind of random walk. We expect to loop on the $x$ term of the triplet in $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ iterations, so that we obtain an equation of the kind
$$
x=g^{\alpha} y^{\beta}=g^{\alpha^{\prime}} y^{\beta^{\prime}}
$$
which leads us to
$$
c=\frac{\alpha-\alpha^{\prime}}{\beta-\beta^{\prime}} \bmod n .
$$
The random walk is defined by a function $f(x, \alpha, \beta)$ by
$$
f(x, \alpha, \beta)= \begin{cases}(x \times g, \alpha+1 \bmod n, \beta) & \text { if } h(x)=1 \ (x \times y, \alpha, \beta+1 \bmod n) & \text { if } h(x)=2 \ \left(x^{2}, 2 \alpha \bmod n, 2 \beta \bmod n\right) & \text { if } h(x)=3\end{cases}
$$
where $h$ is a random balanced function from $G$ to ${1,2,3}$. We can easily see that the property $x=g^{\alpha} y^{\beta}$ is preserved by replacing $(x, \alpha, \beta)$ by $f(x, \alpha, \beta)$. Analysis shows that this is indeed a random walk so that we are expected to loop on the first term in $\mathcal{O}(\sqrt{n})$. The complete algorithm is detailed in Fig. 7.8.
数学代写|密码学作业代写CRYPTOGRAPHY代考|Shanks Baby Steps – Giant Steps Algorithm
We now describe the Shanks baby step – giant step algorithm which solves the DLKOP problem within a complexity of $\mathcal{O}(\sqrt{# G})$. It even solves the DLP problem when we have an upper bound $B$ for $# G$, within a complexity of $\mathcal{O}(\sqrt{B})$. It is also convenient for finding element orders (which are a kind of discrete logarithm of unity).
Let $B$ be $# G$ (if $# G$ is not available, $B$ can be any upper bound of $# G$ ). We proceed as shown in Fig. 7.9. The algorithm eventually succeeds: if $x$ is the unknown logarithm modulo #G, we know that $x \in\left{0, \ldots, \ell^{2}-1\right}$. It can thus be written $x=i \ell+j$, for which we get the match in the above algorithm. Therefore this algorithm computes the discrete logarithm within $\mathcal{O}(\sqrt{B})$ group operations. (One problem is that it requires $\mathcal{O}(\sqrt{B}$ ) memory space as well.)
数学代写|密码学作业代写CRYPTOGRAPHY代考|Pohlig–Hellman Algorithm
Here we describe the Pohlig-Hellman algorithm (see Ref. [145]). It reduces the computation of a discrete logarithm within a group $G$ (the factorization of the order of which $# G=p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{n}^{a_{n}}$ is known) into computing discrete logarithms in groups of order $p_{1}, \ldots, p_{n}$. Combining this reduction with the Shanks baby steps – giant steps algorithm we obtain an algorithm which solves the DLKOFP problem, i.e. which enables the computation of discrete logarithms in a $B$-smooth ordered group of known factor- ization, within a complexity which is essentially $\mathcal{O}(\sqrt{B})$ group operations (plus some extra logarithmic complexity factors).
Let $N=# G$ of given factorization $N=p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{n}^{a_{n}}$.
密码学代写
数学代写|密码学作业代写CRYPTOGRAPHY代考|POLLARD RHO METHOD
7.2.1 节中描述的启发式 Pollard Rho 分解算法可以适用于在给定组的阶数时解决离散对数问题一世.和.吨H和一种b这在和D大号ķ这磷 s和和R和F.[150].
让G表示米在l吨一世pl一世C一种吨一世在和l是d和n这吨和d团体，n表示它的顺序，G和是是两个元素G这样我们就可以寻找一些整数C这样是=GC. 这个想法在于管理一系列(X,一种,b)三胞胎这样X=G一种是b. 该序列是通过某种随机游走获得的。我们希望循环X三元组的术语这(n)迭代，这样我们就得到了一个方程
X=G一种是b=G一种′是b′
这导致我们
C=一种−一种′b−b′反对n.
随机游走由一个函数定义F(X,一种,b)经过
F(X,一种,b)={(X×G,一种+1反对n,b) 如果 H(X)=1 (X×是,一种,b+1反对n) 如果 H(X)=2 (X2,2一种反对n,2b反对n) 如果 H(X)=3
在哪里H是一个随机平衡函数G到1,2,3. 我们可以很容易地看到该属性X=G一种是b通过替换保留(X,一种,b)经过F(X,一种,b). 分析表明，这确实是一个随机游走，因此我们预计在第一项上循环这(n). 完整的算法在图 7.8 中有详细说明。
数学代写|密码学作业代写CRYPTOGRAPHY代考|SHANKS BABY STEPS – GIANT STEPS ALGORITHM
我们现在描述 Shanks 婴儿步 – 巨步算法，它解决了 DLKOP 问题，复杂度为\数学{O} (\sqrt {#G})\数学{O} (\sqrt {#G}). 当我们有一个上限时，它甚至可以解决 DLP 问题乙为了＃ G＃ G, 在复杂度内这(乙). 查找元素顺序也很方便在H一世CH一种r和一种ķ一世nd这Fd一世sCr和吨和l这G一种r一世吨H米这F在n一世吨是.
让乙是＃ G＃ G 如果 $# G$ 不可用，则 $B$ 可以是 $# G$ 的任何上限如果 $# G$ 不可用，则 $B$ 可以是 $# G$ 的任何上限. 我们按照图 7.9 所示进行。算法最终成功：如果X是未知的对数模#G，我们知道x \in\left{0, \ldots, \ell^{2}-1\right}x \in\left{0, \ldots, \ell^{2}-1\right}. 因此可以写成X=一世ℓ+j，我们在上面的算法中得到了匹配。因此，该算法计算内的离散对数这(乙)组操作。这n和pr这bl和米一世s吨H一种吨一世吨r和q在一世r和s$这(乙$内存空间也是如此。）
数学代写|密码学作业代写CRYPTOGRAPHY代考|POHLIG–HELLMAN ALGORITHM
这里我们描述 Pohlig-Hellman 算法s和和R和F.[145]. 它减少了组内离散对数的计算G 已知 $# G=p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{n}^{a_{n}}$ 的阶的因式分解已知 $# G=p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{n}^{a_{n}}$ 的阶的因式分解计算有序组中的离散对数p1,…,pn. 将这种减少与 Shanks 婴儿步数 – 巨步算法相结合，我们获得了一个解决 DLKOFP 问题的算法，即它能够计算离散对数乙- 已知分解的平滑有序组，在本质上是这(乙)集团运营pl在ss这米和和X吨r一种l这G一种r一世吨H米一世CC这米pl和X一世吨是F一种C吨这rs.
让N=#GN=#G给定分解的ñ=p1一种1⋯pn一种n.
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