如果你也在 怎样代写泛函分析functional analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
泛函分析functional analysis这个词作为一个名词的用法可以追溯到变分学，意味着一个参数是函数的函数。这个词最早是在哈达玛德1910年关于该主题的书中使用的。然而，函数的一般概念早在1887年就由意大利数学家和物理学家Vito Volterra提出。非线性函数的理论由Hadamard的学生，特别是Fréchet和Lévy继续研究。哈达玛德还创立了现代线性函数分析学派，该学派由里耶兹和斯特凡-巴纳赫周围的波兰数学家小组进一步发展。
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非线性方法 nonlinear method functional analysis
变分法 Calculus of Variations
数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Functions of Bounded Variation
Recall that a partition $P$ of a closed interval $[a, b]$ of $\mathbf{R}$ is such a set $\left{x_{k}\right}_{k=0}^{n}$ that $a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b$. Let $f$ be a function on $[a, b]$ and consider the sum
$$
S(f, P)=\sum_{k=1}^{n}\left|f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right|
$$
We wish to handle the set of all values of $S(f, P)$, where $P$ ranges over all partitions of $[a, b]$. This set of values may be bounded above or unbounded above, and we write the supremum of this set of values as $\sup _{P} S(f, P)$.
数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Definition and Basic Properties
We start by defining the Riemann-Stieltjes integral on a finite closed interval.
Definition 3.2.1. Suppose that $f$ and $g$ are real-valued functions defined and bounded on $[a, b]$. Let $P=\left{x_{k}\right}_{k=0}^{n}$ be a partition of $[a, b]$ and $\left{\xi_{k}\right}_{k=1}^{n}$ be such that each $\xi_{k}$ is in the $k$-th subinterval associated with $P$; that is, $x_{k-1} \leq \xi_{k} \leq x_{k}$. Then
(i)
$$
\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\left(g\left(x_{k}\right)-g\left(x_{k-1}\right)\right)
$$
is called a Riemann-Stieltjes sum for $f$ with respect to $g$.
(ii) $f$ is called Riemann-Stieltjes integrable with respect to $g$ on $[a, b]$ provided that there is a number $J$ such that if $\varepsilon>0$ then there is $a \delta>0$ such that
$$
|P|<\delta \Rightarrow\left|J-\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\left(g\left(x_{k}\right)-g\left(x_{k-1}\right)\right)\right|<\varepsilon
$$
regardless of the choice of $\xi_{k} \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$. In this case $J$ is called the RiemannStieltjes integral of $f$ with respect to $g$, and denoted by $\int_{a}^{b} f(x) d g(x) .$ Also, $f$ is called the integrand and $g$ is called the integrator. The class of all functions Riemann-Stieltjes integrable on $[a, b]$ with respect to $g$ is written as $R S_{g}[a, b]$.
数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Nonexistence and Existence for Integrals
We now proceed to establish some results on the nonexistence and existence of Riemann-Stieltjes integrals for special functions such as discontinuous functions, step functions and continuous functions.
Example 3.3.1. If
$$
f(x)=g(x)=\left{\begin{array}{ll}
0, & x \in[0,1] \
1, & x \in(1,2]
\end{array},\right.
$$
then $f \notin R S_{g}[0,2]$. In fact, if $P$ is a partition of $[0,2]$ having an arbitrarily small norm and $x_{m-1}=1 \in P$, then $g\left(x_{m}\right)-g\left(x_{m-1}\right)=1$, and hence
$$
\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\left(g\left(x_{k}\right)-g\left(x_{k-1}\right)\right)=\left{\begin{array}{l}
0, \xi_{m}=1 \
1, \xi_{m}>1
\end{array}\right.
$$
Examples 3.2.6 and 3.3.1 illustrate a general non-existence result as follows.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION
回想一下分区磷闭区间的[一种,b]的R是这样的一套\left{x_{k}\right}_{k=0}^{n}\left{x_{k}\right}_{k=0}^{n}那一种=X0<X1<⋯<Xn=b. 让F成为一个函数[一种,b]并考虑总和
小号(F,磷)=∑ķ=1n|F(Xķ)−F(Xķ−1)|
我们希望处理所有值的集合小号(F,磷)， 在哪里磷范围在所有分区[一种,b]. 这组值可能有界或无界，我们将这组值的上确界写为支持磷小号(F,磷).
数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|DEFINITION AND BASIC PROPERTIES
我们首先在有限闭区间上定义 Riemann-Stieltjes 积分。
定义 3.2.1。假设F和G是定义和有界的实值函数[一种,b]. 让P=\left{x_{k}\right}_{k=0}^{n}P=\left{x_{k}\right}_{k=0}^{n}成为一个分区[一种,b]和\left{\xi_{k}\right}_{k=1}^{n}\left{\xi_{k}\right}_{k=1}^{n}使得每个Xķ在里面ķ-th 子区间与磷; 那是，Xķ−1≤Xķ≤Xķ. 然后
一世
∑ķ=1nF(Xķ)(G(Xķ)−G(Xķ−1))
称为 Riemann-Stieltjes 和F关于G.
一世一世 F被称为 Riemann-Stieltjes 可积关于G在[一种,b]前提是有号码Ĵ这样如果e>0然后有一种d>0这样
|磷|<d⇒|Ĵ−∑ķ=1nF(Xķ)(G(Xķ)−G(Xķ−1))|<e
不管选择什么Xķ∈[Xķ−1,Xķ]. 在这种情况下Ĵ称为 RiemannStieltjes 积分F关于G，并表示为∫一种bF(X)dG(X).还，F被称为被积函数并且G称为积分器。Riemann-Stieltjes 可积的所有函数的类[一种,b]关于G写成R小号G[一种,b].
数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|NONEXISTENCE AND EXISTENCE FOR INTEGRALS
我们现在继续建立关于不连续函数、阶跃函数和连续函数等特殊函数的黎曼-斯蒂尔切斯积分不存在和存在的一些结果。
示例 3.3.1。如果
$$
f(x)=g(x)=\left{\begin{array}{ll}
0, & x \in[0,1] \
1, & x \in(1,2]
\end{array},\right.
$$
then $f \notin R S_{g}[0,2]$. In fact, if $P$ is a partition of $[0,2]$ having an arbitrarily small norm and $x_{m-1}=1 \in P$, then $g\left(x_{m}\right)-g\left(x_{m-1}\right)=1$, and hence
$$
\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\left(g\left(x_{k}\right)-g\left(x_{k-1}\right)\right)=\left{\begin{array}{l}
0, \xi_{m}=1 \
1, \xi_{m}>1
\end{array}\right.
$$
数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
