如果你也在 怎样代写泛函分析functional analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
泛函分析functional analysis这个词作为一个名词的用法可以追溯到变分学，意味着一个参数是函数的函数。这个词最早是在哈达玛德1910年关于该主题的书中使用的。然而，函数的一般概念早在1887年就由意大利数学家和物理学家Vito Volterra提出。非线性函数的理论由Hadamard的学生，特别是Fréchet和Lévy继续研究。哈达玛德还创立了现代线性函数分析学派，该学派由里耶兹和斯特凡-巴纳赫周围的波兰数学家小组进一步发展。
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非线性方法 nonlinear method functional analysis
变分法 Calculus of Variations
数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Foundational Material
Let us consider a typical function which is not Riemann integrable.
$$
f(x)= \begin{cases}1, & x \in \mathbf{Q} \cap(0,1) \ 0, & x \notin \mathbf{Q} \cap(0,1)\end{cases}
$$
then $f \notin R[0,1]$, but there exists a sequence of step functions $f_{n}$ such that $\lim {n \rightarrow \infty} f{n}(x)=f(x)$ for any $x \in[0,1]$. Thus, the pointwise limit is not closed in $R[0,1]$.
Indeed, since the rational numbers in $(0,1)$ can be listed as $\left{r_{1}, r_{2}, \ldots\right}$, we can assume
$$
h_{k}(x)= \begin{cases}1, & x=r_{k} \ 0, & x \in[0,1] \backslash\left{r_{k}\right}\end{cases}
$$
数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Essential Properties
After introducing the concept of a Lebesgue-Radon-Stieltjes integral, we seek to show its basic properties.
Theorem 4.2.1. Let $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ be increasing. If $f \in L R S_{g}(\mathbf{R})$, then $|f|, f^{+}, f^{-} \in$ $L R S_{g}(\mathbf{R})$ with
$$
\left{\begin{array}{l}
\int_{\mathbf{R}} f d m_{g}=\int_{\mathbf{R}} f^{+} d m_{g}-\int_{\mathbf{R}} f^{-} d m_{g} \
\int_{\mathbf{R}}|f| d m_{g}=\int_{\mathbf{R}} f^{+} d m_{g}+\int_{\mathbf{R}} f^{-} d m_{g} \
\left|\int_{\mathbf{R}} f d m_{g}\right| \leq \int_{\mathbf{R}}|f| d m_{g}
\end{array}\right.
$$
Proof. Because of $f \in L R S_{g}(\mathbf{R})$, we can take a sequence $\left{s_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ of step functions on $\mathbf{R}$ such that $\lim {k \rightarrow \infty} S{g}\left(\left|f-s_{k}\right|\right)=0$. Since each $s_{k}$ is a step function $\mathbf{R}$, so is $\left|s_{k}\right|$ and it follows that $S_{g}\left(\left|s_{k}\right|\right)<\infty$. From Theorem $4.1 .8$ (ii) it turns out that
$$
\lim {k \rightarrow \infty} S{g}\left(|| f|-| s_{k}||\right)=0 \text { and } \lim {k \rightarrow \infty} S{g}\left(\left|f^{\pm}-s_{k}^{\pm}\right|\right)=0
$$
数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Convergence Theorems
We will present the dominated convergence theorem and its consequent monotone convergence theorem as well as Pierre Fatou’s lemma for the LebesgueRadon-Stieltjes integrals. As an application of the monotone convergence theorem, we will prove that the Lebesgue-Radon-Stieltjes integrals actually generalize the Riemann-Stieltjes integrals.
Here is the dominated convergence theorem.
Theorem 4.3.1. Let $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ be increasing. Suppose that $\left{f_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ is a sequence in $L R S_{g}(\mathbf{R})$ such that $\left|f_{k}\right| \leq h \in L R S_{g}(\mathbf{R})$. If $\lim {k \rightarrow \infty} f{k}=f m_{g}$-a.e on $\mathbf{R}$, then
$$
f \in L R S_{g}(\mathbf{R}) \text { and } \int_{\mathbf{R}} \lim {k \rightarrow \infty} f{k} d m_{g}=\int_{\mathbf{R}} f d m_{g}=\lim {k \rightarrow \infty} \int{\mathbf{R}} f_{k} d m_{g}
$$
Proof. To prove the conclusion, we need two auxiliary facts.
Fact 1. If $\left{s_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ is a decreasing and nonnegative sequence of step functions on $\mathbf{R}$ and $\lim {k \rightarrow \infty} s{k}=0 m_{g}$-a.e. on $\mathbf{R}$, then $\lim {k \rightarrow \infty} \int{\mathbf{R}} s_{k} d m_{g}=0$.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|FOUNDATIONAL MATERIAL
让我们考虑一个不是黎曼可积的典型函数。F(X)={1,X∈问∩(0,1) 0,X∉问∩(0,1)
然后F∉R[0,1], 但存在一系列阶跃函数Fn这样 $\lim {n \rightarrow \infty} f {n}X=fXF这r一种n是x \in0,1.吨H在s,吨H和p这一世n吨在一世s和l一世米一世吨一世sn这吨Cl这s和d一世nR0,1$.
事实上，由于有理数(0,1)可以列为\left{r_{1}, r_{2}, \ldots\right}\left{r_{1}, r_{2}, \ldots\right}, 我们可以假设
h_{k}(x)= \begin{cases}1, & x=r_{k} \ 0, & x \in[0,1] \backslash\left{r_{k}\right}\end{cases }h_{k}(x)= \begin{cases}1, & x=r_{k} \ 0, & x \in[0,1] \backslash\left{r_{k}\right}\end{cases }
数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|ESSENTIAL PROPERTIES
在介绍了 Lebesgue-Radon-Stieltjes 积分的概念之后，我们试图展示它的基本性质。
定理 4.2.1。让G:R→R正在增加。如果F∈大号R小号G(R)， 然后|F|,F+,F−∈ 大号R小号G(R)与
$$
\left{\begin{array}{l}
\int_{\mathbf{R}} f d m_{g}=\int_{\mathbf{R}} f^{+} d m_{g}-\int_{\mathbf{R}} f^{-} d m_{g} \
\int_{\mathbf{R}}|f| d m_{g}=\int_{\mathbf{R}} f^{+} d m_{g}+\int_{\mathbf{R}} f^{-} d m_{g} \
\left|\int_{\mathbf{R}} f d m_{g}\right| \leq \int_{\mathbf{R}}|f| d m_{g}
\end{array}\right.
$$
Proof. Because of $f \in L R S_{g}(\mathbf{R})$, we can take a sequence $\left{s_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ of step functions on $\mathbf{R}$ such that $\lim {k \rightarrow \infty} S{g}\left(\left|f-s_{k}\right|\right)=0$. Since each $s_{k}$ is a step function $\mathbf{R}$, so is $\left|s_{k}\right|$ and it follows that $S_{g}\left(\left|s_{k}\right|\right)<\infty$. From Theorem $4.1 .8$ (ii) it turns out that
$$
\lim {k \rightarrow \infty} S{g}\left(|| f|-| s_{k}||\right)=0 \text { and } \lim {k \rightarrow \infty} S{g}\left(\left|f^{\pm}-s_{k}^{\pm}\right|\right)=0
$$
数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|CONVERGENCE THEOREMS
我们将介绍主导收敛定理及其结果单调收敛定理以及 LebesgueRadon-Stieltjes 积分的 Pierre Fatou 引理。作为单调收敛定理的应用，我们将证明 Lebesgue-Radon-Stieltjes 积分实际上推广了 Riemann-Stieltjes 积分。
这是主导收敛定理。
定理 4.3.1。让G:R→R正在增加。假设\left{f_{k}\right}_{k=1}^{\infty}\left{f_{k}\right}_{k=1}^{\infty}是一个序列大号R小号G(R)这样|Fķ|≤H∈大号R小号G(R). 如果 $\lim {k \rightarrow \infty} f {k}=f m_{g}−一种.和这n\mathbf{R},吨H和n$
f \in LR S_{g}R\text { 和 } \int_{\mathbf{R}} \lim {k \rightarrow \infty} f {k} d m_{g}=\int_{\mathbf{R}} fd m_{g}=\lim {k \rightarrow \infty} \int {\mathbf{R}} f_{k} d m_{g}
$$
证明。为了证明这个结论，我们需要两个辅助事实。
事实 1. 如果\left{s_{k}\right}_{k=1}^{\infty}\left{s_{k}\right}_{k=1}^{\infty}是阶跃函数的递减非负序列R和 $\lim {k \rightarrow \infty} s {k}=0 m_{g}−一种.和.这n\mathbf{R},吨H和n\lim {k \rightarrow \infty} \int {\mathbf{R}} s_{k} d m_{g}=0$。
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