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## 数学代写|数值线性代数作业代写numerical linear algebra代考|Orthogonalization

A stable algorithm for the least squares problem should access $A$ directly ${ }^{69}$ and not via the detour of $A^{\prime} A$. With the help of a (normalized) $Q R$ decomposition $A=Q R$, we can simplify the normal equations according to Theorem $9.3$ to
$$\underbrace{A^{\prime} A}{=R^{\prime} R} x=\underbrace{A^{\prime}}{=R^{\prime} Q^{\prime}} b$$
and therefore equivalently reduce via multiplication with $\left(R^{\prime}\right)^{-1}$ to
$$R x=Q^{\prime} b .$$

The backward stability of this algorithm-with the modified Gram-Schmidt, Givens or Householder method for the calculation of the reduced $Q R$ decomposition-can be understood as in $\S 15.6$ by the section decomposition
$$A \underset{Q R \text { factorization }}{\stackrel{\text { reduced }}{\longrightarrow}}(Q, R) \stackrel{\text { multiplication with } Q^{\prime}}{\stackrel{\text { backward substitution }}{\longrightarrow}} x .$$
Here, due to the column orthonormality of $Q$, the inverse start section, that is $(Q, R) \mapsto Q \cdot R=A$, is actually well-conditioned: $|Q|_{2}|R|_{2}=|A|_{2}$.
Exercise. Show for the full $Q R$ decomposition (9.3): $r=b-A x=\left(I-Q_{1} Q_{1}^{\prime}\right) b=Q_{2} Q_{2}^{\prime} b$. Explain why only the third formula is stable and should therefore be used for the residual.

## 数学代写|数值线性代数作业代写numerical linear algebra代考|Basic Concepts

An eigenpair $(\lambda, x) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{m}$ of a matrix $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$, composed of an eigenvalue $\lambda$ and an eigenvector $x$, is defined by
$$A x=\lambda x, \quad x \neq 0$$
the set of eigenvalues is the spectrum $\sigma(A)$ of $A$. Since the eigenvalue equation is homogeneous in $x$, we often consider eigenvectors normalized by $|x|_{2}=1$.

I8.2 Obviously, $\lambda$ is an eigenvalue, if and only if $\lambda I-A$ is singular and therefore $\lambda$ is a root of the characteristic polynomial
$$\chi(\zeta)=\operatorname{det}(\zeta I-A)$$
the multiplicity of this root is the (algebraic) multiplicity of the eigenvalue.
Remark. The fundamental theorem of algebra ensures the existence of eigenvalues $\lambda$, corresponding eigenvectors are obtained, at least theoretically, as a kernel vector of $\lambda I-A$.
I8.3 The connection to the characteristic polynomial $\chi$ suggests an algorithm for calculating the eigenvalues by first finding the coefficients and then the roots of $\chi$ :
$$A \stackrel{g}{\longmapsto} \chi \stackrel{h}{\longmapsto}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\right) .$$
Unfortunately, this is numerically unstable due to the ill-conditioned end section $h$.

## 数学代写|数值线性代数作业代写NUMERICAL LINEAR ALGEBRA代考|ORTHOGONALIZATION

$$\underbrace{A^{\prime} A} {=R^{\prime} R} x=\underbrace{A^{\prime}} {=R^{\prime} Q^{\prime} } 乙 一种nd吨H和r和F这r和和q在一世在一种l和n吨l是r和d在C和在一世一种米在l吨一世pl一世C一种吨一世这n在一世吨H(R′)−1吨这 R x=Q^{\prime} b 。$$

## 数学代写|数值线性代数作业代写NUMERICAL LINEAR ALGEBRA代考|BASIC CONCEPTS

I8.2 显然，λ是一个特征值，当且仅当λ一世−一种是单数的，因此λ是特征多项式的根
χ(G)=这⁡(G一世−一种)

I8.3 与特征多项式的连接χ提出了一种计算特征值的算法，首先找到系数，然后找到χ :

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。