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数学代写|数值线性代数作业代写numerical linear algebra代考|Perturbation Theory

如果你也在 怎样代写数值线性numerical linear algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数值线性numerical linear algebra有时也称为应用线性代数,是研究如何利用矩阵运算来创建计算机算法,从而有效和准确地提供连续数学问题的近似答案。它是数值分析的一个子领域,也是线性代数的一种类型。计算机使用浮点运算,不能准确地表示无理数的数据,所以当计算机算法应用于数据矩阵时,有时会增加存储在计算机中的数字与它所逼近的真实数字之间的差异。数值线性代数利用向量和矩阵的属性来开发计算机算法,使计算机引入的误差最小化,并且还关注确保算法尽可能高效。

数值线性numerical linear algebra的目的是用有限精度的计算机解决连续数学的问题,因此它在自然科学和社会科学中的应用与连续数学的应用一样广泛。它通常是工程和计算科学问题的基本组成部分,如图像和信号处理、电信、计算金融、材料科学模拟、结构生物学、数据挖掘、生物信息学和流体动力学。矩阵方法特别用于有限差分法、有限元法和微分方程的建模。Lloyd N. Trefethen和David Bau, III注意到数值线性代数的广泛应用,认为它 “与微积分和微分方程一样是数学科学的基础”,: x尽管它是一个相对较小的领域。由于矩阵和向量的许多属性也适用于函数和算子,数值线性代数也可以被视为一种函数分析,特别强调实用算法。 

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Let the matrix $A$ be given along with a perturbed eigenpair $(\lambda, x), x \neq 0$. As with linear systems of equations, we define backward stability as the smallest perturbation of $A$ for which this pair becomes an exact eigenpair:
$$
\omega=\min \left{\frac{|E|_{2}}{|A|_{2}}:(A+E) x=\lambda x\right} .
$$
This quantity can be directly calculated with the help of Theorem $15.2$ of Rigal and Gaches by setting $b=\lambda x$ :
$$
\omega=\frac{|r|_{2}}{|A|_{2}|x|_{2}}, \quad r=A x-\lambda x .
$$
Thus, a calculation of a numerical eigenpair with $\omega=O\left(\epsilon_{\text {mach }}\right)$ is backward stable.
19.2 Let an approximate eigenvector $x \neq 0$ be given. Which $\lambda \in \mathbb{C}$ is the best approximate eigenvalue fitting to it in terms of the backward error $\omega$ ? Since the denominator of the expression $\omega$ does not depend on the approximate eigenvalue, it suffices to minimize the residual itself:
$$
\lambda=\underset{\mu \in \mathbf{C}}{\arg \min }|A x-x \cdot \mu|_{2} .
$$
The normal equation (cf. Theorem 16.3) of this least squares problem provides (notice here that $x$ plays the role of the design matrix and $A x$ that of the observation)
$$
x^{\prime} x \cdot \lambda=x^{\prime} A x, \quad \text { such that } \lambda=\frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x} ;
$$
this expression of the optimal $\lambda$ is called the Rayleigh quotient of $A$ in $x$.

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For select eigenvalues $\lambda$ of a matrix $A$ corresponding Schur decompositions can be obtained in the form
$$
Q^{\prime} A Q=T=\left(\begin{array}{l|l}

  • & * \
    \hline & \lambda
    \end{array}\right)
    $$
    The last row of this decomposition states $e_{m}^{\prime} Q^{\prime} A Q=\lambda e_{m}^{\prime}$, so that for $x=Q e_{m} \neq 0$
    $$
    x^{\prime} A=\lambda x^{\prime}, \quad x \neq 0
    $$
    Such an $x$ is called a left eigenvector of $A$ corresponding to the eigenvalue $\lambda ;(\lambda, x)$ is called a left eigenpair.

Remark. Adjunction takes (21.1) to the equivalent form $A^{\prime} x=\bar{\lambda} x$. It therefore holds that $\sigma\left(A^{\prime}\right)=\overline{\sigma(A)}$ and the left eigenvectors of $A$ correspond with the eigenvectors of $A^{\prime}$. Hence, all of the concepts from this chapter carry over from eigenpairs to left eigenpairs.
2l.2 Starting with $A_{0}=A$, we now aim at iteratively computing just the last line of a Schur decomposition by constructing a sequence
$$
A_{k+1}=Q_{k}^{\prime} A_{k} Q_{k} \rightarrow\left(\begin{array}{c|l}

  • & * \
    \hline & \lambda
    \end{array}\right) \quad(k \rightarrow \infty)
    $$

where all the base changes $Q_{k}$ are meant to be unitary. Notably then, both $A_{k}$ and $A$ are unitarily similar which implies that spectrum and norm remain invariant:
$$
\sigma\left(A_{k}\right)=\sigma(A), \quad\left|A_{k}\right|_{2}=|A|_{2} .
$$
The last line of (21.2) amounts to saying that the last unit basis vector $e_{m}$ asymptotically becomes a left eigenvector of $A_{k}$ corresponding to the eigenvalue $\lambda$ :
$$
e_{m}^{\prime} A_{k} \rightarrow \lambda e_{m}^{\prime} \quad(k \rightarrow \infty) .
$$

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数值线性代数代写

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让矩阵一种与扰动特征对一起给出(λ,X),X≠0. 与线性方程组一样,我们将后向稳定性定义为一种这对成为精确的特征对:
\omega=\min \left{\frac{|E|_{2}}{|A|_{2}}:(A+E) x=\lambda x\right} 。\omega=\min \left{\frac{|E|_{2}}{|A|_{2}}:(A+E) x=\lambda x\right} 。
这个量可以直接借助定理计算15.2Rigal 和 Gaches 通过设置b=λX :
ω=|r|2|一种|2|X|2,r=一种X−λX.
因此,数值特征对的计算与ω=这(ε马赫 )是向后稳定的。
19.2 设一个近似特征向量X≠0被给予。哪一个λ∈C是就后向误差而言拟合它的最佳近似特征值ω? 由于表达式的分母ω不依赖于近似特征值,它足以最小化残差本身:
λ=参数⁡分钟μ∈C|一种X−X⋅μ|2.
正规方程CF.吨H和这r和米16.3这个最小二乘问题提供n这吨一世C和H和r和吨H一种吨$X$pl一种是s吨H和r这l和这F吨H和d和s一世Gn米一种吨r一世X一种nd$一种X$吨H一种吨这F吨H和这bs和r在一种吨一世这n
X′X⋅λ=X′一种X, 这样 λ=X′一种XX′X;
这个最优表达式λ被称为瑞利商一种在X.

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对于选择特征值λ矩阵的一种相应的 Schur 分解可以用
$$
Q^{\prime} AQ=T=\left(\begin{array}{l|l}

  • & * \
    \hline & \lambda
    \end{数组}\right)
    吨H和l一种s吨r这在这F吨H一世sd和C这米p这s一世吨一世这ns吨一种吨和s$和米′问′一种问=λ和米′$,s这吨H一种吨F这r$X=问和米≠0$
    x^{\prime} A=\lambda x^{\prime}, \quad x \neq 0
    $$
    这样一个X称为左特征向量一种对应于特征值λ;(λ,X)称为左特征对。

评论。附加费21.1等价形式一种′X=λ¯X. 因此认为σ(一种′)=σ(一种)¯和左特征向量一种对应的特征向量一种′. 因此,本章中的所有概念都从特征对延续到左特征对。
2l.2 从一种0=一种,我们现在的目标是通过构造一个序列
$$
A_{k+1}=Q_{k}^{\prime} A_{k} Q_{k} \rightarrow\left( \begin{数组}{c|l}

  • & * \
    \hline & \lambda
    \end{数组}\right) \quadķ→∞
    $$

所有基础发生变化的地方问ķ是一体的。值得注意的是,两者一种ķ和一种是单一相似的,这意味着频谱和范数保持不变:
σ(一种ķ)=σ(一种),|一种ķ|2=|一种|2.
最后一行21.2等于说最后一个单位基向量和米渐近地成为左特征向量一种ķ对应于特征值λ :
和米′一种ķ→λ和米′(ķ→∞).

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光学代考

光学(Optics),是物理学的分支,主要是研究光的现象、性质与应用,包括光与物质之间的相互作用、光学仪器的制作。光学通常研究红外线、紫外线及可见光的物理行为。因为光是电磁波,其它形式的电磁辐射,例如X射线、微波、电磁辐射及无线电波等等也具有类似光的特性。

大多数常见的光学现象都可以用经典电动力学理论来说明。但是,通常这全套理论很难实际应用,必需先假定简单模型。几何光学的模型最为容易使用。

相对论代考

上至高压线,下至发电机,只要用到电的地方就有相对论效应存在!相对论是关于时空和引力的理论,主要由爱因斯坦创立,相对论的提出给物理学带来了革命性的变化,被誉为现代物理性最伟大的基础理论。

流体力学代考

流体力学力学的一个分支。 主要研究在各种力的作用下流体本身的状态,以及流体和固体壁面、流体流体之间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。

随机过程代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如,某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数,就是依赖于时间t的一组随机变量,即随机过程

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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