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# 数学代写|数值线性代数作业代写numerical linear algebra代考|Perturbation Theory

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## 数学代写|数值线性代数作业代写numerical linear algebra代考|Perturbation Theory

Let the matrix $A$ be given along with a perturbed eigenpair $(\lambda, x), x \neq 0$. As with linear systems of equations, we define backward stability as the smallest perturbation of $A$ for which this pair becomes an exact eigenpair:
$$\omega=\min \left{\frac{|E|_{2}}{|A|_{2}}:(A+E) x=\lambda x\right} .$$
This quantity can be directly calculated with the help of Theorem $15.2$ of Rigal and Gaches by setting $b=\lambda x$ :
$$\omega=\frac{|r|_{2}}{|A|_{2}|x|_{2}}, \quad r=A x-\lambda x .$$
Thus, a calculation of a numerical eigenpair with $\omega=O\left(\epsilon_{\text {mach }}\right)$ is backward stable.
19.2 Let an approximate eigenvector $x \neq 0$ be given. Which $\lambda \in \mathbb{C}$ is the best approximate eigenvalue fitting to it in terms of the backward error $\omega$ ? Since the denominator of the expression $\omega$ does not depend on the approximate eigenvalue, it suffices to minimize the residual itself:
$$\lambda=\underset{\mu \in \mathbf{C}}{\arg \min }|A x-x \cdot \mu|_{2} .$$
The normal equation (cf. Theorem 16.3) of this least squares problem provides (notice here that $x$ plays the role of the design matrix and $A x$ that of the observation)
$$x^{\prime} x \cdot \lambda=x^{\prime} A x, \quad \text { such that } \lambda=\frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x} ;$$
this expression of the optimal $\lambda$ is called the Rayleigh quotient of $A$ in $x$.

## 数学代写|数值线性代数作业代写numerical linear algebra代考|QR Algorithm

For select eigenvalues $\lambda$ of a matrix $A$ corresponding Schur decompositions can be obtained in the form
$$Q^{\prime} A Q=T=\left(\begin{array}{l|l} • & * \ \hline & \lambda \end{array}\right)$$
The last row of this decomposition states $e_{m}^{\prime} Q^{\prime} A Q=\lambda e_{m}^{\prime}$, so that for $x=Q e_{m} \neq 0$
$$x^{\prime} A=\lambda x^{\prime}, \quad x \neq 0$$
Such an $x$ is called a left eigenvector of $A$ corresponding to the eigenvalue $\lambda ;(\lambda, x)$ is called a left eigenpair.

Remark. Adjunction takes (21.1) to the equivalent form $A^{\prime} x=\bar{\lambda} x$. It therefore holds that $\sigma\left(A^{\prime}\right)=\overline{\sigma(A)}$ and the left eigenvectors of $A$ correspond with the eigenvectors of $A^{\prime}$. Hence, all of the concepts from this chapter carry over from eigenpairs to left eigenpairs.
2l.2 Starting with $A_{0}=A$, we now aim at iteratively computing just the last line of a Schur decomposition by constructing a sequence
$$A_{k+1}=Q_{k}^{\prime} A_{k} Q_{k} \rightarrow\left(\begin{array}{c|l} • & * \ \hline & \lambda \end{array}\right) \quad(k \rightarrow \infty)$$

where all the base changes $Q_{k}$ are meant to be unitary. Notably then, both $A_{k}$ and $A$ are unitarily similar which implies that spectrum and norm remain invariant:
$$\sigma\left(A_{k}\right)=\sigma(A), \quad\left|A_{k}\right|_{2}=|A|_{2} .$$
The last line of (21.2) amounts to saying that the last unit basis vector $e_{m}$ asymptotically becomes a left eigenvector of $A_{k}$ corresponding to the eigenvalue $\lambda$ :
$$e_{m}^{\prime} A_{k} \rightarrow \lambda e_{m}^{\prime} \quad(k \rightarrow \infty) .$$

## 数学代写|数值线性代数作业代写NUMERICAL LINEAR ALGEBRA代考|PERTURBATION THEORY

\omega=\min \left{\frac{|E|_{2}}{|A|_{2}}:(A+E) x=\lambda x\right} 。\omega=\min \left{\frac{|E|_{2}}{|A|_{2}}:(A+E) x=\lambda x\right} 。

ω=|r|2|一种|2|X|2,r=一种X−λX.

19.2 设一个近似特征向量X≠0被给予。哪一个λ∈C是就后向误差而言拟合它的最佳近似特征值ω? 由于表达式的分母ω不依赖于近似特征值，它足以最小化残差本身：
λ=参数⁡分钟μ∈C|一种X−X⋅μ|2.

X′X⋅λ=X′一种X, 这样 λ=X′一种XX′X;

## 数学代写|数值线性代数作业代写NUMERICAL LINEAR ALGEBRA代考|QR ALGORITHM

$$Q^{\prime} AQ=T=\left(\begin{array}{l|l} • & * \ \hline & \lambda \end{数组}\right) 吨H和l一种s吨r这在这F吨H一世sd和C这米p这s一世吨一世这ns吨一种吨和s和米′问′一种问=λ和米′,s这吨H一种吨F这rX=问和米≠0 x^{\prime} A=\lambda x^{\prime}, \quad x \neq 0$$
这样一个X称为左特征向量一种对应于特征值λ;(λ,X)称为左特征对。

2l.2 从一种0=一种，我们现在的目标是通过构造一个序列
$$A_{k+1}=Q_{k}^{\prime} A_{k} Q_{k} \rightarrow\left( \begin{数组}{c|l} • & * \ \hline & \lambda \end{数组}\right) \quadķ→∞$$

σ(一种ķ)=σ(一种),|一种ķ|2=|一种|2.

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。