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# 数学代写|概率论代考probability theory代写|Measurability and Measure

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## 数学代写|概率论代考probability theory代写|Measurable Functions

Remember the definition of a $\sigma$-field:
Definition 2.1.1 Denote by $\mathcal{P}(X)$ the collection of all subsets of a given set $X$. $A$ collection of subsets $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{P}(X)$ is called a $\sigma$-field on $X$ if:
( $\alpha) X \in \mathcal{X}$,
(B) $A \in \mathcal{X} \Longrightarrow \bar{A} \in \mathcal{X}$ and
$\mathrm{~ (}$
One then says that $(X, \mathcal{X})$ is a measurable space. A set $A \in \mathcal{X}$ is called a measurable set.
Observe that (See Exercise 1.6.5):
$\left(\gamma^{\prime}\right) A_{n} \in \mathcal{X}$ for all $n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \cap_{n=0}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{X}$.
In fact, given the properties $(\alpha)$ and $(\beta)$, properties $(\gamma)$ and $\left(\gamma^{\prime}\right)$ are equivalent. Note also that $\varnothing \in \mathcal{X}$, being the complement of $X$. Therefore, a $\sigma$-field on $X$ is a collection of subsets of $X$ that contains $X$ and $\varnothing$, and is closed under countable unions, countable intersections and complementation.

The two simplest examples of $\sigma$-fields on $X$ are the gross $\sigma$-field $\mathcal{X}={\varnothing, X}$ and the trivial $\sigma$-field $\mathcal{X}=\mathcal{P}(X)$.

## 数学代写|概率论代考probability theory代写|Measure

The next most important notion of integration theory after that of measurable sets and measurable functions is that of measure.

Let $(X, \mathcal{X})$ be a measurable space. A set function $\mu: \mathcal{X} \rightarrow[0, \infty]$ is called a measure on $(X, \mathcal{X})$ if $\mu(\varnothing)=0$ and if for any countable sequence $\left{A_{n}\right}_{n \geq 0}$ of pairwise disjoint sets in $\mathcal{X}$, the following property ( $\sigma$-additivity) is satisfied
$$\mu\left(\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \mu\left(A_{n}\right) .$$

## 数学代写|概率论代考PROBABILITY THEORY代写|MEASURABLE FUNCTIONS

$\mathcal{P}(X)$ the collection of all subsets of a given set $X$. $A$ collection of subsets $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{P}(X)$ is called a $\sigma$-field on $X$ if:
( $\alpha) X \in \mathcal{X}$,
(B) $A \in \mathcal{X} \Longrightarrow \bar{A} \in \mathcal{X}$ and
$\mathrm{~ (}$
One then says that $(X, \mathcal{X})$ is a measurable space. A set $A \in \mathcal{X}$ is called a measurable set.
Observe that (See Exercise 1.6.5):
$\left(\gamma^{\prime}\right) A_{n} \in \mathcal{X}$ for all $n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \cap_{n=0}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{X}$.
In fact, given the properties $(\alpha)$ and $(\beta)$, properties $(\gamma)$ and $\left(\gamma^{\prime}\right)$ are equivalent. Note also that $\varnothing \in \mathcal{X}$, being the complement of $X$. Therefore, a $\sigma$-field on $X$ is a collection of subsets of $X$ that contains $X$ and $\varnothing$，并且在可数并集、可数交集和补集下闭合。

## 数学代写|概率论代考PROBABILITY THEORY代写|MEASURE

$$\mu\left(\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \mu\left(A_{n}\right) .$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。