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统计代写|时间序列分析作业代写time series analysis代考|Lag Window Spectral Estimators

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统计代写|时间序列分析作业代写time series analysis代考|Smoothing Direct Spectral Estimators

As mentioned in the introduction, lag window estimators are based on smoothing a direct spectral estimator $\hat{S}^{(\mathrm{D})}(\cdot)$ across frequencies. The justification for this approach is the following. Suppose $N$ is large enough so that the periodogram $\hat{S}^{(\mathrm{P})}(\cdot)$ is essentially an unbiased estimator of $S(\cdot)$ and is pairwise uncorrelated at the Fourier frequencies $f_{k}$ (i.e., the approximations stated by Equation (204a) are valid). If $S(\cdot)$ is slowly varying in the neighborhood of, say, $f_{k}$, then
$$S\left(f_{k-M}\right) \approx \cdots \approx S\left(f_{k}\right) \approx \cdots \approx S\left(f_{k+M}\right)$$
for some integer $M>0$. Thus $\hat{S}^{(\mathrm{P})}\left(f_{k-M}\right), \ldots, \hat{S}^{(\mathrm{P})}\left(f_{k}\right), \ldots, \hat{S}^{(\mathrm{P})}\left(f_{k+M}\right)$ are a set of $2 M+1$ approximately unbiased and uncorrelated estimators of the same quantity, namely, $S\left(f_{k}\right)$. Suppose we average them to form the estimator
$$\bar{S}\left(f_{k}\right) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{1}{2 M+1} \sum_{j=-M}^{M} \hat{S}^{(\mathrm{P})}\left(f_{k-j}\right)$$

统计代写|时间序列分析作业代写time series analysis代考|First-Moment Properties of Lag Window Estimators

We now consider the first-moment properties of $S_{m}^{(\mathrm{LW})}(\cdot)$. It follows from Equation (248a) that

$$E\left{\hat{S}{m}^{(\mathrm{LW})}(f)\right}=\int{-f_{\mathcal{N}}}^{f_{\mathcal{N}}} W_{m}(f-\phi) E\left{\hat{S}^{(\mathrm{D})}(\phi)\right} \mathrm{d} \phi .$$
Exercise [255] Use Equation (186e) to show that
$$E\left{\hat{S}{m}^{(\mathrm{LW})}(f)\right}=\int{-f_{\mathcal{N}}}^{f_{\mathcal{N}}} \mathcal{U}{m}\left(f-f^{\prime}\right) S\left(f^{\prime}\right) \mathrm{d} f^{\prime}$$ where $$\mathcal{U}{m}(f) \stackrel{\text { def }}{=} \int_{-f_{\mathcal{N}}}^{f_{\mathcal{N}}} W_{m}\left(f-f^{\prime \prime}\right) \mathcal{H}\left(f^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} f^{\prime \prime}$$

统计代写|时间序列分析作业代写time series analysis代考|Second-Moment Properties of Lag Window Estimators

We sketch here a derivation of one approximation to the large-sample variance of $S_{m}^{(\text {Lw) }}(f)-$ a second, more accurate approximation is considered in $C \& E$ [1]. We assume that the direct spectral estimator $\hat{S}^{(\mathrm{D})}(\cdot)$ is approximately uncorrelated on a grid of frequencies defined by $f_{k}^{\prime}=k /\left(N^{\prime} \Delta_{\mathrm{t}}\right)$, where here $N^{\prime} \leq N$, and $k$ is an integer such that $0<f_{k}^{\prime}<f_{\mathcal{N}}-$ see the discussion concerning Equation (207). From Equation (248a) and an obvious change of variable, we have
$$\hat{S}{m}^{(\mathrm{LW})}(f)=\int{-f_{\mathcal{N}}-f}^{f_{\mathcal{N}}-f} W_{m}(-\phi) \hat{S}^{(\mathrm{D})}(\phi+f) \mathrm{d} \phi=\int_{-f_{\mathcal{N}}}^{f_{\mathcal{N}}} W_{m}(\phi) \hat{S}^{(\mathrm{D})}(\phi+f) \mathrm{d} \phi$$

统计代写|时间序列分析作业代写TIME SERIES ANALYSIS代考|FIRST-MOMENT PROPERTIES OF LAG WINDOW ESTIMATORS

$$E\left{\hat{S}{m}^{(\mathrm{LW})}(f)\right}=\int{-f_{\mathcal{N}}}^{f_{\mathcal{N}}} W_{m}(f-\phi) E\left{\hat{S}^{(\mathrm{D})}(\phi)\right} \mathrm{d} \phi .$$
Exercise [255] Use Equation (186e) to show that
$$E\left{\hat{S}{m}^{(\mathrm{LW})}(f)\right}=\int{-f_{\mathcal{N}}}^{f_{\mathcal{N}}} \mathcal{U}{m}\left(f-f^{\prime}\right) S\left(f^{\prime}\right) \mathrm{d} f^{\prime}$$ where $$\mathcal{U}{m}(f) \stackrel{\text { def }}{=} \int_{-f_{\mathcal{N}}}^{f_{\mathcal{N}}} W_{m}\left(f-f^{\prime \prime}\right) \mathcal{H}\left(f^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} f^{\prime \prime}$$

统计代写|时间序列分析作业代写TIME SERIES ANALYSIS代考|SECOND-MOMENT PROPERTIES OF LAG WINDOW ESTIMATORS

$$\hat{S} {m}^{大号在}F=\int {-f_{\mathcal{N}}-f}^{f_{\mathcal{N}}-f} W_{m}−φ\帽子{S}^{D}φ+F\ mathrm {d} \ phi = \ int _ {- f _ {\ mathcal {N}} _ f _ {\ mathcal {N}} W_ {mφ\帽子{S}^{D}φ+F\ mathrm {d} \ phi$$

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。