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数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Lévy processes

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数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Lévy processes

数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Definition

A càdlàg real-valued stochastic process $X_{t}$ defined on a filtered probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, endowed with a standard complete filtration $\mathscr{F}=\left{\mathcal{F}{t} \mid t \geq 0\right}$ and $X{0}=0$, is a Lévy process if it possesses the following properties:

  1. Independent increments: For any increasing sequence of times $0 \leq t_{0}<t_{1}<$ $\cdots<t_{n}$, the random variables $X_{t_{0}}, X_{t_{1}}-X_{t_{0}}, \ldots, X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ are all independent.
  2. Stationary increments: $X_{t+h}-X_{t}$ has the same distribution as $X_{h}$ for all $h, t \geq 0$.
  3. Stochastic continuity: For any $t \geq 0$ and $\varepsilon>0, \lim {s \rightarrow t} P\left[\left|X{s}-X_{t}\right|>\varepsilon\right]=0$.
    The last property does not imply continuous sample paths of $X_{t}$. Rather, the property of seeing a jump at a given $t$ is zero. Discontinuities occur at random times, so processes with jumps at deterministic times are excluded.

数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Infinite divisibility

A Lévy process is closely related to the property of infinite divisibility. A random variable $Y$ is said to be infinite divisible if there exists iid random variables $Y_{1}^{(n)}, Y_{2}^{(n)}, \ldots, Y_{n}^{(n)}, n \geq 2$, such that
$$
Y \stackrel{\mathrm{d}}{=} Y_{1}^{(n)}+Y_{2}^{(n)}+\cdots+Y_{n}^{(n)}
$$
A typical example of an infinitely divisible distribution is the normal distribution. Suppose $Y \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, where $\mu$ and $\sigma^{2}$ are the mean and variance, respectively, then
$$
Y \stackrel{\mathrm{d}}{=} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}^{(n)}
$$
where $Y_{k}^{(n)}$ are iid with law $N\left(\frac{\mu}{n}, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$ (see the proof in Sec. 2.3.3). Also, it can be shown that the Poisson distribution and Gamma distribution are infinitely divisible distributions. However, the discrete Bernuolli distribution is not infinitely divisible.
If $X_{t}$ is a Lévy process, then $X_{t}$ is infinitely divisible for each $t>0$. To show the claim, for any $n \geq 2$, we define
$$
Y_{k}^{(n)}=X_{\frac{k}{n} t}-X_{\frac{k-1}{n} t}, \quad k=1,2, \ldots, n
$$

数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|Characteristic exponent and Lévy-Khintchine representation

By virtue of infinite divisibility property (2.49) and independence of the random variables $Y_{k}^{(n)}$, the characteristic function $\phi_{X_{t}}$ of the infinitely divisible distribution $X_{t}$ observes the following property:
$$
\phi_{X_{t}}(u)=\left[\phi_{X_{\frac{t}{n}}}(u)\right]^{n}, \quad n \geq 2
$$
We would like to verify that the Brownian motion with constant drift $\mu$ and volatility $\sigma$ is infinitely divisible for each $t>0$. For $X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}$, where $W_{t}$ is the standard Brownian motion and $n$ is any positive integer, we observe that
$$
\begin{aligned}
& \phi_{X_{t}}(u) \
=& \int_{-\infty}^{\infty} e^{i u x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2} t}} \exp \left(-\frac{(x-\mu t)^{2}}{2 \sigma^{2} t}\right) \mathrm{d} x=\exp \left(i u \mu t-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{2}\right) \
=& \exp \left(n\left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right)=\left[\exp \left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right]^{n}=\left[\phi_{X_{\frac{t}{n}}}(u)\right]^{n} .
\end{aligned}
$$

数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Lévy processes

金融数学代写

数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|DEFINITION

一个 càdlàg 实值随机过程Xt在过滤的概率空间上定义(Ω,F,P), 赋予标准完全过滤 $\mathscr{F}=\left{\mathcal{F} {t} \mid t \geq 0\right}andX {0}=0$, 是一个 Lévy 过程,如果它具有以下性质:

  1. 独立增量:对于任何增加的时间序列0≤t0<t1< ⋯<tn, 随机变量Xt0,Xt1−Xt0,…,Xtn−Xtn−1都是独立的。
  2. 固定增量:Xt+h−Xt具有相同的分布Xh对所有人h,t≥0.
  3. 随机连续性:对于任何t≥0和 $\varepsilon>0,\lim {s \rightarrow t} P\left[\left|X {s}-X_{t}\right|>\varepsilon\right]=0.ThelastpropertydoesnotimplycontinuoussamplepathsofX_{t}.Rather,thepropertyofseeingajumpatagivent$ 为零。不连续性发生在随机时间,因此排除了在确定性时间发生跳跃的过程。

数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|INFINITE DIVISIBILITY

Lévy 过程与无限可分性密切相关。随机变量Y如果存在 iid 随机变量,则说它是无限可分的Y1(n),Y2(n),…,Yn(n),n≥2, 这样
Y=dY1(n)+Y2(n)+⋯+Yn(n)
无限可分分布的一个典型例子是正态分布。认为Y∼N(μ,σ2), 在哪里μ和σ2分别是均值和方差,那么
Y=d∑k=1nYk(n)
在哪里Yk(n)受法律约束N(μn,σ2n) seetheproofinSec.2.3.3. 此外,可以证明泊松分布和伽玛分布是无限可分的分布。然而,离散伯诺利分布不是无限可分的。
如果Xt是一个 Lévy 过程,那么Xt对每个都是无限可分的t>0. 为了显示索赔,对于任何n≥2,我们定义
$$
Y_{k}^{(n)}=X_{\frac{k}{n} t}-X_{\frac{k-1}{n} t}, \quad k=1,2, \ldots, n
$$

数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|CHARACTERISTIC EXPONENT AND LÉVY-KHINTCHINE REPRESENTATION

凭借无限可分性2.49和随机变量的独立性Yk(n), 特征函数ϕXt无限可分分布Xt观察到以下性质:
ϕXt(u)=[ϕXtn(u)]n,n≥2
我们想验证具有恒定漂移的布朗运动μ和波动性σ对每个都是无限可分的t>0. 为了Xt=μt+σWt, 在哪里Wt是标准布朗运动和n是任何正整数,我们观察到
$$
\begin{aligned}
& \phi_{X_{t}}(u) \
=& \int_{-\infty}^{\infty} e^{i u x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2} t}} \exp \left(-\frac{(x-\mu t)^{2}}{2 \sigma^{2} t}\right) \mathrm{d} x=\exp \left(i u \mu t-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{2}\right) \
=& \exp \left(n\left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right)=\left[\exp \left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right]^{n}=\left[\phi_{X_{\frac{t}{n}}}(u)\right]^{n} .
\end{aligned}
$$

数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考

数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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