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# 数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Lévy processes

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## 数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Definition

A càdlàg real-valued stochastic process $X_{t}$ defined on a filtered probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, endowed with a standard complete filtration $\mathscr{F}=\left{\mathcal{F}{t} \mid t \geq 0\right}$ and $X{0}=0$, is a Lévy process if it possesses the following properties:

1. Independent increments: For any increasing sequence of times $0 \leq t_{0}<t_{1}<$ $\cdots<t_{n}$, the random variables $X_{t_{0}}, X_{t_{1}}-X_{t_{0}}, \ldots, X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ are all independent.
2. Stationary increments: $X_{t+h}-X_{t}$ has the same distribution as $X_{h}$ for all $h, t \geq 0$.
3. Stochastic continuity: For any $t \geq 0$ and $\varepsilon>0, \lim {s \rightarrow t} P\left[\left|X{s}-X_{t}\right|>\varepsilon\right]=0$.
The last property does not imply continuous sample paths of $X_{t}$. Rather, the property of seeing a jump at a given $t$ is zero. Discontinuities occur at random times, so processes with jumps at deterministic times are excluded.

## 数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Infinite divisibility

A Lévy process is closely related to the property of infinite divisibility. A random variable $Y$ is said to be infinite divisible if there exists iid random variables $Y_{1}^{(n)}, Y_{2}^{(n)}, \ldots, Y_{n}^{(n)}, n \geq 2$, such that
$$Y \stackrel{\mathrm{d}}{=} Y_{1}^{(n)}+Y_{2}^{(n)}+\cdots+Y_{n}^{(n)}$$
A typical example of an infinitely divisible distribution is the normal distribution. Suppose $Y \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, where $\mu$ and $\sigma^{2}$ are the mean and variance, respectively, then
$$Y \stackrel{\mathrm{d}}{=} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}^{(n)}$$
where $Y_{k}^{(n)}$ are iid with law $N\left(\frac{\mu}{n}, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$ (see the proof in Sec. 2.3.3). Also, it can be shown that the Poisson distribution and Gamma distribution are infinitely divisible distributions. However, the discrete Bernuolli distribution is not infinitely divisible.
If $X_{t}$ is a Lévy process, then $X_{t}$ is infinitely divisible for each $t>0$. To show the claim, for any $n \geq 2$, we define
$$Y_{k}^{(n)}=X_{\frac{k}{n} t}-X_{\frac{k-1}{n} t}, \quad k=1,2, \ldots, n$$

## 数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|Characteristic exponent and Lévy-Khintchine representation

By virtue of infinite divisibility property (2.49) and independence of the random variables $Y_{k}^{(n)}$, the characteristic function $\phi_{X_{t}}$ of the infinitely divisible distribution $X_{t}$ observes the following property:
$$\phi_{X_{t}}(u)=\left[\phi_{X_{\frac{t}{n}}}(u)\right]^{n}, \quad n \geq 2$$
We would like to verify that the Brownian motion with constant drift $\mu$ and volatility $\sigma$ is infinitely divisible for each $t>0$. For $X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}$, where $W_{t}$ is the standard Brownian motion and $n$ is any positive integer, we observe that
\begin{aligned} & \phi_{X_{t}}(u) \ =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{i u x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2} t}} \exp \left(-\frac{(x-\mu t)^{2}}{2 \sigma^{2} t}\right) \mathrm{d} x=\exp \left(i u \mu t-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{2}\right) \ =& \exp \left(n\left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right)=\left[\exp \left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right]^{n}=\left[\phi_{X_{\frac{t}{n}}}(u)\right]^{n} . \end{aligned}

## 数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|DEFINITION

1. 独立增量：对于任何增加的时间序列0≤t0<t1< ⋯<tn, 随机变量Xt0,Xt1−Xt0,…,Xtn−Xtn−1都是独立的。
2. 固定增量：Xt+h−Xt具有相同的分布Xh对所有人h,t≥0.
3. 随机连续性：对于任何t≥0和 $\varepsilon>0，\lim {s \rightarrow t} P\left[\left|X {s}-X_{t}\right|>\varepsilon\right]=0.ThelastpropertydoesnotimplycontinuoussamplepathsofX_{t}.Rather,thepropertyofseeingajumpatagivent$ 为零。不连续性发生在随机时间，因此排除了在确定性时间发生跳跃的过程。

## 数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|INFINITE DIVISIBILITY

Lévy 过程与无限可分性密切相关。随机变量Y如果存在 iid 随机变量，则说它是无限可分的Y1(n),Y2(n),…,Yn(n),n≥2, 这样
Y=dY1(n)+Y2(n)+⋯+Yn(n)

Y=d∑k=1nYk(n)

$$Y_{k}^{(n)}=X_{\frac{k}{n} t}-X_{\frac{k-1}{n} t}, \quad k=1,2, \ldots, n$$

## 数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|CHARACTERISTIC EXPONENT AND LÉVY-KHINTCHINE REPRESENTATION

ϕXt(u)=[ϕXtn(u)]n,n≥2

\begin{aligned} & \phi_{X_{t}}(u) \ =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{i u x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2} t}} \exp \left(-\frac{(x-\mu t)^{2}}{2 \sigma^{2} t}\right) \mathrm{d} x=\exp \left(i u \mu t-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{2}\right) \ =& \exp \left(n\left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right)=\left[\exp \left(i u \frac{\mu t}{n}-\frac{u^{2} \sigma^{2} t}{n}\right)\right]^{n}=\left[\phi_{X_{\frac{t}{n}}}(u)\right]^{n} . \end{aligned}

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。