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# 数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Time-changed Lévy processes

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## 数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Time-change techniques: Subordinators and activity rates

Let $X_{t}$ be a stochastic process and $T_{t}(\omega)$ be an almost surely increasing sample path with $T_{0}=0$ and tending to infinity as $t \rightarrow \infty$; that is, for $t \geq s$, we have almost surely $X_{t} \geq X_{s}$. The time-changed process:
$$Z_{t}=X_{T_{t}}$$
assumes the same values as $X$, in the same sequential order but at different clock times. Let the base process be a Lévy process. What is the class of processes for $T_{t}$ such that the time-changed process is also a Lévy process? We state the following results [for proofs, see Theorems $3.2 .2$ and $3.2 .4$ in Cherubini et al. (2010)]:

1. An almost surely increasing Lévy process $T_{t}$ is a subordinator if and only if it has finite variation of the form:
$$T_{t}=\mu t+\sum_{s \in[0, t]} \Delta X_{s},$$
with $\mu \geq 0, \Pi((-\infty, 0])=0$ and $\int_{0}^{\infty} \min (1, x) \Pi(\mathrm{d} x)<\infty$.
2. Suppose $X_{t}$ is a Lévy process and $T_{t}$ is a subordinator, then $Z_{t}=X_{T_{t}}$ is also a Lévy process.

The Lévy process $Z_{t}$ generated by time change of $X_{t}$ with subordinator $T_{t}$ exhibits nice analytic tractability due to the Bochner formula for the subordinated Lévy process $Z_{t}=X_{T_{t}}$.

## 数学代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Variance Gamma model

There are three aspects of the VG model. It can be visualized as a special case of the CGMY model as well as the GH model. Also, it can be expressed as the difference of two Gamma processes. Lastly, it can be defined as a time-changed Brownian motion subordinated by a Gamma process.

Recall that the VG model is seen as a special case of the CGMY model with $Y=0$ in $\Pi_{C G M Y}(\mathrm{~d} x)$ [see (2.62)]. The Lévy measure of the VG model is given by
$$\Pi_{\mathrm{VG}}(\mathrm{d} x)= \begin{cases}\frac{C \exp (-G|x|)}{|x|} \mathrm{d} x, & x<0 \\ \frac{C \exp (-M x)}{x} \mathrm{~d} x, & x>0\end{cases}$$
where $C, G$, and $M$ are positive real parameters.

## 数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|Normal Inverse Gaussian model

The Normal Inverse Gaussian (NIG) model is initiated in the two papers by Barndorff-Nielsen $(1997,1998)$. Similar to the VG model, it is generated by subordinating a Brownian motion through an inverse Gaussian process $I(t ; a, b)$. Both the inverse Gaussian process and Gamma process belong to the family of tempered stable subordinators, where the choice of the index of stability $\alpha$ is $\alpha=\frac{1}{2}$ for $I(t ; a, b)$ and $\alpha=0$ for $\gamma(t ; \mu, v)$ [see (4.19) in Cont and Tankov (2003)]. The Lévy measure of the inverse Gaussian process $I(t ; a, b)$ is given by
$$\Pi_{I}(\mathrm{~d} x)=\frac{a e^{-b x}}{x^{3 / 2}} \mathbf{1}_{{x>0}} \mathrm{d} x, \quad a>0 \text { and } b>0 .$$

## 数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|TIME-CHANGE TECHNIQUES: SUBORDINATORS AND ACTIVITY RATES

1. 几乎肯定会增加的 Lévy 过程吨吨是一个从属当且仅当它具有以下形式的有限变化：
吨吨=μ吨+∑s∈[0,吨]ΔXs,
和μ≥0,圆周率((−∞,0])=0和∫0∞分钟(1,X)圆周率(dX)<∞.
2. 认为X吨是一个 Lévy 过程并且吨吨是下属，那么从吨=X吨吨也是一个 Lévy 过程。

## 数学代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|VARIANCE GAMMA MODEL

VG 模型包含三个方面。它可以被看作是 CGMY 模型和 GH 模型的一个特例。此外，它可以表示为两个 Gamma 过程的差异。最后，它可以定义为受 Gamma 过程从属的时变布朗运动。

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。