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澳洲代写|信息论代写information theory代写|ELEC7604

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信息论information theory的一个关键衡量标准是熵。熵量化了随机变量的值或随机过程的结果中所涉及的不确定性的数量。例如,确定一个公平的抛硬币的结果(有两个同样可能的结果)比确定一个掷骰子的结果(有六个同样可能的结果)提供的信息要少(熵值较低)。信息论中其他一些重要的衡量标准是相互信息、信道容量、误差指数和相对熵。信息论的重要子领域包括源编码、算法复杂性理论、算法信息论和信息论安全。

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澳洲代写|信息论代写information theory代写|Asymptotic equiprobability and entropic stability

The ideas of preceding section concerning asymptotic equivalence of nonequiprobable and equiprobable outcomes can be extended to essentially more general cases of random sequences and processes. It is not necessary for random variables $\xi_{j}$ forming the sequence $\eta^{n}=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)$ to take only one of two values and to have the same distribution law $P\left(\xi_{j}\right)$. There is also no need for $\xi_{j}$ to be statistically independent and even for $\eta^{n}$ to be the sequence $\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)$. So what is really necessary, the asymptotic equivalence?

In order to state the property of asymptotic equivalence of non-equiprobable and equiprobable outcomes in general terms we should use the notion of entropic stability of family of random variables.

A family of random variables $\left{\eta^{n}\right}$ is entropically stable if the ratio $H\left(\eta^{n}\right) / H_{\eta^{n}}$ converges in probability to one as $n \rightarrow \infty$. This means that whatever $\varepsilon>0, \eta>0$ are, there exists $N(\varepsilon, \eta)$ such that the inequality
$$
P\left{\left|H\left(\eta^{n}\right) / H_{\eta^{n}}-1\right| \geqslant \varepsilon\right}<\eta
$$
is satisfied for every $n \geqslant N(\varepsilon, \eta)$.
The above definition implies that $0<H_{\eta^{n}}<\infty$ and $H_{\eta^{n}}$ does not decrease with $n$. Usually $H_{\eta^{n}} \rightarrow \infty$.

Asymptotic equiprobability can be expressed in terms of entropic stability in the form of the following general theorem.

澳洲代写|信息论代写information theory代写|Definition of entropy of a continuous random variable

Up to now we have assumed that a random variable $\xi$, with entropy $H_{\xi}$, can take values from some discrete space consisting of either a finite or a countable number of elements, for instance, messages, symbols, etc. However, continuous variables are also widespread in engineering, i.e. variables (scalar or vector), which can take values from a continuous space $X$, most often from the space of real numbers. Such a random variable $\xi$ is described by the probability density function $p(\xi)$ that assigns the probability
$$
\Delta P=\int_{\xi \varepsilon \Delta X} p(\xi) d \xi \approx p(A) \Delta V \quad(A \in \Delta X)
$$
of $\xi$ appearing in region $\Delta X$ of the specified space $X$ with volume $\Delta V(d \xi=d V$ is a differential of the volume).

澳洲代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|Properties of entropy in the generalized version. Conditional entropy

Entropy (1.6.13), (1.6.16) defined in the previous section possesses a set of properties, which are analogous to the properties of an entropy of a discrete random variable considered earlier. Such an analogy is quite natural if we take into account the interpretation of entropy (1.6.13) (provided in Section 1.6) as an asymptotic case (for large $N$ ) of entropy (1.6.1) of a discrete random variable.

The non-negativity property of entropy, which was discussed in Theorem $1.1$, is not always satisfied for entropy (1.6.13), (1.6.16) but holds true for sufficiently large $N$. The constraint
$$
H_{\xi}^{P / Q} \leqslant \ln N
$$
results in non-negativity of entropy $H_{\xi}$.
Now we move on to Theorem $1.2$, which considered the maximum value of entropy. In the case of entropy (1.6.13), when comparing different distributions $P$ we need to keep measure $v$ fixed. As it was mentioned, quantity (1.6.17) is non-negative and, thus, (1.6.16) entails the inequality
$$
H_{\xi} \leqslant \ln N
$$
At the same time, if we suppose $P=Q$, then, evidently, we will have
$$
H_{\xi}=\ln N
$$

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信息论代写

澳洲代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|ASYMPTOTIC EQUIPROBABILITY AND ENTROPIC STABILITY

上一节关于非等概率和等概率结果的渐近等价的想法可以扩展到更一般的随机序列和过程的情况。随机变量不是必需的Xj形成序列这n=(X1,…,Xn)只取两个值之一并具有相同的分布规律磷(Xj). 也没有必要Xj在统计上是独立的,甚至对于这n成为序列(X1,…,Xn). 那么什么是真正必要的,渐近等价呢?

为了概括地说明非等概率和等概率结果的渐近等价性质,我们应该使用随机变量族的熵稳定性的概念。

随机变量族\left{\eta^{n}\right}\left{\eta^{n}\right}如果比率是熵稳定的H(这n)/H这n在概率上收敛为 1n→∞. 这意味着无论e>0,这>0是,存在ñ(e,这)这样不等式
P\left{\left|H\left(\eta^{n}\right) / H_{\eta^{n}}-1\right| \geqslant \varepsilon\right}<\etaP\left{\left|H\left(\eta^{n}\right) / H_{\eta^{n}}-1\right| \geqslant \varepsilon\right}<\eta
满足于每一个n⩾ñ(e,这).
上述定义意味着0<H这n<∞和H这n不减少n. 通常H这n→∞.

渐近等概率可以用以下一般定理的形式用熵稳定性表示。

澳洲代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|DEFINITION OF ENTROPY OF A CONTINUOUS RANDOM VARIABLE

到目前为止,我们假设一个随机变量X, 有熵HX,可以从一些由有限或可数个元素组成的离散空间中取值,例如消息、符号等。但是,连续变量在工程中也很普遍,即变量sC一个l一个r○r在和C吨○r,它可以从连续空间中取值X,通常来自实数空间。这样的随机变量X由概率密度函数描述p(X)分配概率
Δ磷=∫XeΔXp(X)dX≈p(一个)Δ在(一个∈ΔX)
的X出现在地区ΔX指定空间的X有音量Δ在(dX=d在是体积的微分)。

澳洲代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|PROPERTIES OF ENTROPY IN THE GENERALIZED VERSION. CONDITIONAL ENTROPY

熵1.6.13, 1.6.16上一节中定义的具有一组属性,这些属性类似于前面考虑的离散随机变量的熵的属性。如果我们考虑熵的解释,这样的类比是很自然的1.6.13 pr○在一世d和d一世n小号和C吨一世○n1.6作为渐近情况F○rl一个rG和$ñ$熵1.6.1的离散随机变量。

熵的非负性,在定理中讨论过1.1, 并不总是满足熵1.6.13, 1.6.16但适用于足够大ñ. 约束
HX磷/问⩽ln⁡ñ
导致熵的非负性HX.
现在我们继续讨论定理1.2,它考虑了熵的最大值。在熵的情况下1.6.13, 当比较不同的分布时磷我们需要保持测量在固定的。如前所述,数量1.6.17是非负的,因此,1.6.16包含不等式
HX⩽ln⁡ñ
同时,如果我们假设磷=问,那么,显然,我们将有
HX=ln⁡ñ

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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