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# 澳洲代考|金融计量经济学代考Financial Econometrics代考|Why LASSO, EN, and CLOT:Invariance-Based Explanation

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## 澳洲代考|金融计量经济学代考Financial Econometrics代考|Formulation of the Problem

In many practical situations, we do not know the exact model. To be more precise, we know the general form of a dependence between physical quantities, but the parameters of this dependence need to be determined from the observations and from the results of the experiment. For example, often, we have a linear model $y=$ $a_{0}+\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot x_{i}$, in which the parameters $a_{i}$ need to be experimentally determined. The problem of determining the parameters of the model based on the measurement results is known as the inverse problem.

To actually find the parameters, we can use, e.g., the Maximum Likelihood method. For example, when the errors are normally distributed, then the Maximum Likelihood procedure results in the usual Least Squares estimates; see, e.g., Sheskin (2011). For example, for a general linear model with parameters $a_{i}$, once we know several tuples of corresponding values $\left(x_{1}^{(k)}, \ldots, x_{n}^{(k)}, y^{(k)}\right), 1 \leq k \leq K$, then we can find the parameters from the condition that
$$\sum_{k=1}^{K}\left(y^{(k)}-\left(a_{0}+\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot x_{i}^{(k)}\right)\right)^{2} \rightarrow \min {a{0}, \ldots, a_{n}}$$

## 澳洲代考|金融计量经济学代考Financial Econometrics代考|General and Probabilistic Regularizations

We want to find the minimum of the usual least squares (or similar) criterion under the constraint (2). The minimum is attained:

• either when in (2), we have strict inequality
• or when we have equality.
If we have a strict inequality, then we get a local minimum, and for convex criteria like least squares (where there is only one local minimum which is also global), this means that we have the solution of the original constraint-free problem-and we started this whole discussion by considering situations in which this straightforward approach does not work. Thus, we conclude that the minimum under constraint (2) is attained when we have the equality, i.e., when we have
$$\sum_{i=0}^{n} \psi\left(\left|a_{i}\right|\right)=p_{0}$$
for some function $\psi(z)$ and for some value $p_{0}$.

## 澳洲代考|金融计量经济学代考FINANCIAL ECONOMETRICS代考|Natural Invariances

Scale-invariance: general idea. The numerical values of physical quantities depend on the selection of a measuring unit. For example, if we previously used meters and now start using centimeters, all the physical quantities will remain the same, but the numerical values will change-they will all get multiplied by 100 .

In general, if we replace the original measuring unit with a new measuring unit which is $\lambda$ times smaller, then all the numerical values get multiplied by $\lambda$ :
$$x \rightarrow x^{\prime}=\lambda \cdot x$$
Similarly, if we change the original measuring units for the quantity $y$ to a new unit which is $\lambda$ times smaller, then all the coefficients $a_{i}$ in the corresponding dependence $y=a_{0}+\cdots+a_{i} \cdot x_{i}+\cdots$ will also be multiplied by the same factor: $a_{i} \rightarrow \lambda \cdot a_{i}$.

## 澳洲代考|金融计量经济学代考FINANCIAL ECONOMETRICS代考|FORMULATION OF THE PROBLEM

$$\sum_{k=1}^{K}\left的条件中找到参数y^{(k)}-\left(a_{0}+\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot x_{i}^{(k)}\righty^{(k)}-\left(a_{0}+\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot x_{i}^{(k)}\right\right)^{2} \rightarrow \min {a {0}, \ldots, a_{n}}$$

## 澳洲代考|金融计量经济学代考FINANCIAL ECONOMETRICS代考|GENERAL AND PROBABILISTIC REGULARIZATIONS

• 无论是在2, 我们有严格的不等式
• 或者当我们有平等的时候。
如果我们有一个严格的不等式，那么我们会得到一个局部最小值，并且对于像最小二乘法这样的凸标准在H和r和吨H和r和一世s○nl是○n和l○C一个l米一世n一世米在米在H一世CH一世s一个ls○Gl○b一个l，这意味着我们已经解决了最初的无约束问题——我们通过考虑这种直接方法不起作用的情况开始了整个讨论。因此，我们得出结论，约束下的最小值2当我们有相等时，即当我们有
∑一世=0nψ(|一个一世|)=p0
对于某些功能ψ(和)并且为了一些价值p0.

X→X′=λ⋅X

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。