# 网课代修|编码理论代写Coding theory代写|Bounds on Codes

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## 网课代修|编码理论代写Coding theory代写|The Sphere Packing Bound

The Sphere Packing Bound, also called the Hamming Bound, is based on packing $\mathbb{F}_{q}^{n}$ with non-overlapping spheres.

Definition 1.9.3 The sphere of radius $r$ centered at $\mathbf{u} \in \mathbb{F}{q}^{n}$ is the set $S{q, n, r}(\mathbf{u})=$ $\left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}{q}^{n} \mid \mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \leq r\right}$ of all vectors in $\mathbb{F}_{q}^{n}$ whose distance from $\mathbf{u}$ is at most $r$.
We need the size of a sphere, which requires use of binomial coefficients.
Definition 1.9.4 For $a, b$ integers with $0 \leq b \leq a,\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)$ is the number of $b$-element subsets in an $a$-element set. $\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)=\frac{a !}{b !(a-b) !}$ and is called a binomial coefficient.

The next result is the basis of the Sphere Packing Bound; part (a) is a direct count and part (b) follows from the triangle inequality of Theorem 1.6.2.
Theorem 1.9.5 The following hold.
(a) For $\mathbf{u} \in \mathbb{F}{q}^{n},\left|S{q, n, r}(\mathbf{u})\right|=\sum_{i=0}^{r}\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right)(q-1)^{i}$.
(b) If $\mathcal{C}$ is an $(n, M, d)_{q}$ code and $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, then spheres of radius $t$ centered at distinct codewords are disjoint.

## 网课代修|编码理论代写Coding theory代写|The Singleton Bound

Let H2,3 be the 4, 2 be the ternary linear code with generator matrix
$$G_{2,3}=\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right] .$$
Examining inner products of the rows of G2,3, we see that H2,3 is self-orthogonal of dimension half its length; so it is self-dual. Using Theorem 1.6.2(h), A0(H2,3) = 1, A3(H2,3) = 8,and Ai(H2,3) = 0 otherwise. In particular H2,3 is a 4, 2, 3 3 code and hence is MDS.

## 网课代修|编码理论代写CODING THEORY代写|THE SPHERE PACKING BOUND

Sphere Packing Bound，也称为 Hamming Bound，是基于 PackingFqn具有不重叠的球体。

We need the size of a sphere, which requires use of binomial coefficients.
Definition 1.9.4 For $a, b$ integers with $0 \leq b \leq a,\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)$ is the number of $b$-element subsets in an $a$-element set. $\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)=\frac{a !}{b !(a-b) !}$一个−b!}$称为二项式系数。 下一个结果是 Sphere Packing Bound 的基础；部分一个是直接计数和部分b由定理 1.6.2 的三角不等式得出。 定理 1.9.5 以下成立。 一个对于$\mathbf{u} \in \mathbb{F} {q}^{n},\left|S {q, n, r}在\right|=\sum_{i=0}^{r}\left\begin{数组}{c}n \ i\end{数组}\right\begin{数组}{c}n \ i\end{数组}\rightq−1^{我}.(b)我F\数学{C}一世s一个nn,米,d_{q}C○d和一个ndt=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor,吨H和nspH和r和s○Fr一个d一世在s以不同码字为中心的 t\$ 是不相交的。

## 网课代修|编码理论代写CODING THEORY代写|THE SINGLETON BOUND

G2,3=[1011 011−1].

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。