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交换代数Commutative Algebra这门学科最初被称为理想理论，始于理查德-戴德金关于理想的工作，其本身是基于恩斯特-库默尔和利奥波德-克罗内克的早期工作。后来，大卫-希尔伯特（David Hilbert）引入了环这个术语，以概括早期的数环术语。希尔伯特引入了一种更抽象的方法，以取代基于复数分析和经典不变理论的更具体和面向计算的方法。反过来，希尔伯特也强烈地影响了埃米-诺特，他用一个升链条件（现在称为诺特条件）来重塑许多早期的结果。另一个重要的里程碑是希尔伯特的学生伊曼纽尔-拉斯克的工作，他引入了初级理想并证明了拉斯克-诺特定理的第一个版本。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代写|Intersection multiplicity
The next lemma is fundamental to grasp the subsequent material.
Lemma 2.7.26. Let $I \subset R$ stand for homogeneous ideal and let $f \in R$ denote a form which is regular modulo $I$. Then $\operatorname{dim} R /(I, f)=\operatorname{dim} R / I-1$.
Proof. The fastest argument is by localizing at the maximal ideal $\mathfrak{m}:=\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right)$, and applying the later Proposition 5.1.12 to the local ring $R_{\mathrm{m}}$, with $M=R_{\mathrm{m}}$ and the image of $f$ as an element of a system of parameters. Having the required equality on the local level, one can lift up back to $R$ by homogeneity (this may not work if the data are not homogeneous).
Remark 2.7.27. The above equality fails miserably if $I$ is not homogeneous. For example, take $I=\left(\left(x_{0}-1\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)$, an ideal of dimension $n$, and $f=x_{0}$. Then $(I, f)=\mathfrak{m}$. On the bright side, if $R$ is a Cohen-Macaulay (see Section 5.3) Noetherian ring and $I \subset R$ is a perfect ideal (see Definition 6.2.27) then the equality holds ([5, Proposition 1.1(iii)]). The inequality $\operatorname{dim} R /(I, f) \leq \operatorname{dim} R / I-1$ always holds in any finitely generated domain $R$ over a field due to Proposition $2.5 .19$ and the fact that dimension and height are complementary in such a ring (Proposition 2.5.33). However, it is the reverse inequality that plays an important role, as will shortly be seen below.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代写|Minimal degree
The above discussion had to do with the behavior of the degree in the interaction of two homogeneous ideals. Next, one examines the impact of the degree on the structure of one single ideal.
Proposition 2.7.33. Let $R$ denote a standard polynomial ring over a field and let $I \subset R$ stand for a homogeneous ideal generated in degrees $\geq 2$. Then the numerator $P \in \mathbb{Z}[t]$ in the rational form of the Hilbert series of $R / I$ has the shape
$$
P=1+\operatorname{ht}(I) t+\sum_{i \geq 2} a_{i} t^{i}
$$
for certain integers $a_{i} \in \mathbb{Z}$. In particular, $e(R / I)=1+\operatorname{ht}(I)+\sum_{i \geq 2} a_{i}$.
Proof. Let $P=a_{0}+a_{1} t+\cdots$. One computes $a_{0}$ and $a_{1}$ from the Hilbert series. Namely, reading coefficients off the equality $P=(1-t)^{d+1} \sum_{n \geq 0} H(R / I, n) t^{n}$ one derives $a_{0}=$ $H(R / I, 0)=1$, while
$$
\begin{aligned}
a_{1} &=H(R / I, 1)-(d+1) H(R / I, 0)=H(R / I, 1)-(d+1) \
&=\operatorname{dim}{k} R{1}-(d+1), \quad \text { since } I \text { is generated in degrees } \geq 2 \
&=\operatorname{dim} R-(d+1)=h t I
\end{aligned}
$$
as was to be shown.
Note that $e(R / I) \geq 1+$ ht $(I)$ if and only if $\sum_{i \geq 2} a_{i} \geq 0$.
The basic result in this regard is the following.
交换代数代写
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下一个引|理是掌握后续材料的基础。
引理 2.7.26。让 $I \subset R$ 代表齐次理想，让 $f \in R$ 表示一个正则模的形式 $I$.然后 $\operatorname{dim} R /(I, f)=\operatorname{dim} R / I-1$.
证明。最快的论点是定位在最大理想 $\mathrm{m}:=\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right)$ ，并将后面的命题 $5.1 .12$ 应用于本地环 $R_{\mathrm{m}}$ ，和 $M=R_{\mathrm{m}}$ 和图像 $f$ 作为参数系统的一个元素。在地方层面上具 有所需的平等，可以提升到R同质化thismaynotworkifthedataarenothomogeneous.
备注 2.7.27。 上述等式悛遭失败，如果 $I$ 不是同质的。例如，取 $I=\left(\left(x_{0}-1\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)$, 理楒的维数 $n$ ，和 $f=x_{0}$. 然后 $(I, f)=\mathfrak{m}$. 从好的方面来说，如果 $R$ 是科 恩-麦考利seeSection5.3诺特坏和 $I \subset R$ 是一个完美的理相 seeDefinition6.2.27那么等式成立 $[5$, Proposition $1.1($ iii $])$ 。不平等 $\operatorname{dim} R /(I, f) \leq \operatorname{dim} R / I-1$ 总 是在任何有限生成域中成立 $R$ 由于命题在一个领域 $2.5 .19$ 以及在这样的环中尺寸和高度互补的事实Proposition $2.5 .33$. 然而，正是反向不平等发挥了重要作用，正如我 们将在下文中看到的那样。
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 写|MINIMAL DEGREE
上述讨论与两个同质理想相互作用中度数的行为有关。接下来，考察学位对单一理想结构的影响。
提安 2.7.33。让 $R$ 表示域上的标准多项式环并让 $I \subset R$ 代表以度为单位的齐次理想 $\geq 2$. 那么分子 $P \in \mathbb{Z}[t]$ 希尔伯特级数的有理形式 $R / I$ 有形状
$$
P=1+\operatorname{ht}(I) t+\sum_{i \geq 2} a_{i} t^{i}
$$
对于某些整数 $a_{i} \in \mathbb{Z}$. 尤其是， $e(R / I)=1+\mathrm{ht}(I)+\sum_{i \geq 2} a_{i}$.
证明。让 $P=a_{0}+a_{1} t+\cdots$ 一个计算 $a_{0}$ 和 $a_{1}$ 来自䆖尔伯特系列。即，从等式中读取系数 $P=(1-t)^{d+1} \sum_{n \geq 0} H(R / I, n) t^{n}$ 个得出 $a_{0}=H(R / I, 0)=1$ ，庝管 $a_{1}=H(R / I, 1)-(d+1) H(R / I, 0)=H(R / I, 1)-(d+1) \quad=\operatorname{dim} k R 1-(d+1), \quad$ since $I$ is generated in degrees $\geq 2=\operatorname{dim} R-(d+1)=h t I$
正如将要展示的那样。
注意 $e(R / I) \geq 1+\mathrm{HT}(I)$ 当且仅当 $\sum_{i \geq 2} a_{i} \geq 0$.
这方面的其本结果如下。
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
