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交换代数Commutative Algebra这门学科最初被称为理想理论，始于理查德-戴德金关于理想的工作，其本身是基于恩斯特-库默尔和利奥波德-克罗内克的早期工作。后来，大卫-希尔伯特（David Hilbert）引入了环这个术语，以概括早期的数环术语。希尔伯特引入了一种更抽象的方法，以取代基于复数分析和经典不变理论的更具体和面向计算的方法。反过来，希尔伯特也强烈地影响了埃米-诺特，他用一个升链条件（现在称为诺特条件）来重塑许多早期的结果。另一个重要的里程碑是希尔伯特的学生伊曼纽尔-拉斯克的工作，他引入了初级理想并证明了拉斯克-诺特定理的第一个版本。
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Two natural questions arise: the first is as to whether there is some sort of inductive construction to express $H(R / I, t)$; the second, as to whether there is an expression of $H(R / I, t)$ as a polynomial whose coefficients are rational numbers, provided $t \gg 0$. It turns out that both were affirmatively answered by Hilbert in [72] and subsequently considered by various authors, culminating with Serre’s reformulation of the theory in terms of the general setup of finitely generated graded modules over a standard graded ring over an Artinian ground ring.
The method of Hilbert draws on the finite graded resolution of $R / I$ over $R$ along with an additive property of $H(R / I, t)$ that is piecewise like the elementary kernelcokernel calculation of vector dimensions (see the notion of a short exact sequence of modules in Chapter 3). It has the advantage of calculating $H(R / I, t)$ in terms of free graded modules only, avoiding the general notion of a graded module; its drawback is that it only proves the existence of an asymptotic polynomial in the case where $R / I$ admits a finite graded resolution over $R$.
The method of Serre is based on an inductive procedure using associated primesthis is the approach currently in use and is presented in Section 7.4. It excels in generality, but the method of proofs is not automatically suited for computation, requiring rather sophisticated algorithms.
In this part, the approach is historically intermediary between the above two paths, where one follows closely Lasker ([101, Kapitel II]) and van der Waerden ([154], $[155$, Section 4]), which is a modern update of Hilbert-Lasker work.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代写|The formula of van der Waerden
In this part, one derives the formula established by van der Waerden, based on earlier ideas of Lasker. Although the method will be superseded by the later developments of Part II in this book, the tools allow for diving in certain aspects of polynomial theory that seems worth for the newcomer’s familiarization.
Note that if $P \subset R$ is a minimal prime ideal of $R / I$ then the localization $R_{P} / I_{P}$ is an Artinian ring (Theorem 2.5.14). Therefore, it admits a composition series by Section 3.1.2, and hence has finite length $\lambda\left(R_{P} / I_{P}\right)<\infty$.
Take a composition series of $R_{P} / I_{P}$ and lift to a chain of $P$-primary ideals
$$
I=I_{1} \subset I_{2} \subset \cdots \subset I_{\lambda}=P,
$$
where $\lambda=\lambda\left(R_{P} / I_{P}\right)$
If all $I_{i}$ ‘s were homogeneous, one could show that $e_{0}\left(I_{i}\right)=e_{0}\left(I_{i+1}\right)+e_{0}(P)$, for $i=1, \ldots, \lambda-1$. Unfortunately, it is not clear how to guarantee the existence of such a particular chain of $P$-primary ideals series coming from a composition series of $R_{P} / I_{P}$. Thus, one needs a subtler procedure drawing upon the previous notion of homogenization (Section 2.7.1).
Using the notation in loc. cit., set $\bar{R}=k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] \simeq R /\left(x_{0}-1\right)$. Let $\wp \in \bar{R}$ denote a prime ideal such that $\operatorname{dim} \bar{R} / \wp>0$. Up to a change of variables, one can assume that the image of $x_{1} \bmod \wp$ is transcendental over $k$ or, in other words, that $\wp \cap k\left[x_{1}\right]={0}$. Now, consider an additional variable $y$ over $\bar{R}$ and the ideal $\left(\wp, x_{1}-y\right) \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right][y]$. Clearly, this is a prime ideal since
$$
k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right][y] /\left(\wp, x_{1}-y\right) \simeq k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] / \wp
$$
交换代数代写
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|MMA330 MORE ADVANCED STEPS
两个自然的问题出现了：第一个是关于是否存在杲种归纳结构来表达 $H(R / I, t)$;二、是否有表达 $H(R / I, t)$ 作为系数为有理数的冬项式，只要 $t>0$. 事实证明，希尔 伯特在
$7^{2} 2$
随后由多位作者考虑，最终以 Serre 的理论重新表述，即在Artinian 接地环上的标准渐变环上有限生成的渐变模块的一般设置。
希尔伯特的方法借鉴了有限分级分辨率 $R / I$ 超过 $R$ 加上一个附加的属性 $H(R / I, t)$ 这就像向量维度的基本内核内核计算一样分段
seethenotiono fashortexactsequenceo fmodulesinChapter 3 . 它的优点是计算 $H(R / I, t)$ 仅就免费分级模块而言，避免分级模块的一般概念; 它的缺点是它仅在 以下情况下证明斩近多项式的存在 $R / I$ 承认有限分级分辦率超过 $R .$
Serre 的方法基于使用关联素数的归纳过程，这是当前使用的方法，在第 $7.4$ 节中介绍。它在一般侏方面表现出色，但证明方法并不能自动适用于计算，需要相当复杂的 算法。
在这一部分中，该方法在历史上是上述两条路径之间的中介，其中一个紧跟拉斯克 $[101$, KapitelII $]$ 和范德瓦尔登 $[154], \$[155 \$, S e c t i o n 4]$ ，这是希尔伯特拉斯克工 怍的现代更新。
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|THE FORMULA OF VAN DER WAERDEN
在这一部分，我们根据斯克的早期思想推导出范德瓦尔登建立的公式。尽管该方法将被本书第二部分的后续发展所取代，但这些工具允许深入研究似乎值得新手熟悉 的多项式理论的某些方面。
请注意，如果 $P \subset R$ 是一个最小素埋想 $R /$ 矧后本地化 $R_{P} / I_{P}$ 是一个Artinian 环 Theorem $2.5 .14$. 因此，它承认第 $3.1 .2$ 节的组合序列，因此具有有限长度 $\lambda\left(R_{P} / I_{P}\right)<\infty$. 取一个作文系列 $R_{P} / I_{P}$ 并提升到一串 $P-\text { 甚本理想 }$ $$ I=I_{1} \subset I_{2} \subset \cdots \subset I_{\lambda}=P, $$ 在哪里 $\lambda=\lambda\left(R_{P} / I_{P}\right)$ 我誓倒 $I_{i}$ 是同质的，可以证明 $e_{0}\left(I_{i}\right)=e_{0}\left(I_{i+1}\right)+e_{0}(P)$ ，为了i $i=1, \ldots, \lambda-1$. 不幸的是，目前尚不清楚如何保证这样一个特定的链的存在 $P$ – 来自组合系列的其 本理㮩系列 $R_{P} / I_{P}$. 因此，需要一个更微妙的过程，借鉴先前的同质化概念Section 2.7.1. 使用 $l o c$ 中的符号。同，集 $\bar{R}=k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] \simeq R /\left(x_{0}-1\right)$. 让 $\wp \in \bar{R}$ 表示一个素理想，使得 $\operatorname{dim} \bar{R} / \wp>0$. 在变量发生变化的情况下，可以假设 $x_{1} \bmod \rho$ 匙超越 的 $k$ 或者，换句话说， $\wp \cap k\left[x_{1}\right]=0$. 现在，考虑一个额外的变量 $y$ 超过 $\bar{R}$ 和理相 $\left(\rho, x_{1}-y\right) \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right][y]$. 显然，这是一个主要的理想，因为
$$
k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right][y] /\left(\wp, x_{1}-y\right) \simeq k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] / \wp
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
