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交换代数Commutative Algebra这门学科最初被称为理想理论，始于理查德-戴德金关于理想的工作，其本身是基于恩斯特-库默尔和利奥波德-克罗内克的早期工作。后来，大卫-希尔伯特（David Hilbert）引入了环这个术语，以概括早期的数环术语。希尔伯特引入了一种更抽象的方法，以取代基于复数分析和经典不变理论的更具体和面向计算的方法。反过来，希尔伯特也强烈地影响了埃米-诺特，他用一个升链条件（现在称为诺特条件）来重塑许多早期的结果。另一个重要的里程碑是希尔伯特的学生伊曼纽尔-拉斯克的工作，他引入了初级理想并证明了拉斯克-诺特定理的第一个版本。
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If one is asked to choose one single most elementary aspect of commutative algebra not straightforwardly available in the noncommutative theory, certainly the notion of rings of fractions stands up first. Special cases of this theory are so well entrenched in both commutative algebra and algebraic geometry-such as localization at a prime ideal-that it became a trade mark of commutative theory. This author’s feeling is that the topic ought to be introduced as soon as possible. Here, the emphasis is on the relation between the ideals of a ring and its ring of fractions with respect to an arbitrary multiplicatively closed set. The inception of saturation and symbolic powers stand up as essential tools for the entire theory.
Rings of fractions were extensively studied by W. Krull, who attributes the idea to H. Grell ([63, Section 6]). By and large both assumed that the elements of the multiplicatively closed set $\mathfrak{S}$ were nonzero-divisors (“regular” in the terminology of Grell, largely disseminated nowadays). Grell’s paper deals with extension and contraction of ideals under ring extensions and the case of rings of fractions was granted full treatment in the paper. Krull would mainly consider the case where $\mathfrak{S}$ is the complementary set to a prime ideal in the case the ring itself was a domain. Thus, for the definition of a “symbolic power” of a prime ideal $\wp \subset R$ in an arbitrary Noetherian ring he would take directly the $\wp$-primary component instead of the inverse image of the extended ideal in the ring of fractions. The general case of a ring of fractions seems to be a later habit.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代写|Prüfer and the determinantal trick
The proof of Proposition $2.2 .1$ is traditionally known as the “determinantal trick.” It would seem likely that it first appeared in this context in the seminal paper of H. Prüfer ([125, p. 14]). And yet, no notion of arbitrary modules was then available; so, how did the author get away with it? The explanation is that he was only considering the case where $R$ is a domain and $S$ its field of fractions, hence the finitely generated $R$-module considered in the above proof was really a fractional ideal (as one calls today) treated by Prüfer as modeled on the notion introduced earlier by Dedekind in the case of $R=\mathbb{Z}$ and $S=\mathbb{Q}$. He used the same sort of ideas to prove that the integral closure of an ideal $I \subset R$ ( $R$ a domain) in the field of fractions $K$ of $R$ was a notion equivalent to another one he had introduced earlier in a more involved way. The subtlety is that he took the integral closure as a fractional ideal in $K$ and nowadays one takes it as an ideal of $R$ itself. A virtual difference if $R$ is integrally closed in $K$-which he might be assuming among the long list of Eigenshafte established. Note that Proposition 2.2.13 is also proved by Prüfer ([125, p. 16]) within his standing setup. The so-called determinantal trick does not yield in general an equation of integral dependence of least possible degree. Possibly having in mind a more efficient method, Prüfer gives another proof of the result proposing a different matrix, perhaps more intrinsic to the given data. It may be a good occasion, specially for students, to look at this other matrix envisaging a more computationally efficient algorithm.
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|Noether and Krull
It is not altogether clear who first introduced the numerical invariants related to prime ideals and their chains. Some of the ideas were underpinned by E. Noether ([117, Section 4]). By and large it seems that both Noether and Krull dealt with chains of primes in the case of integral domains of finite type over a field, while in the additions to the second edition of his book, Krull introduced the notion of dimension and height (“Dimensionsdefekt”) for local rings.
The normalization lemma has some cloudy history behind it. The usual reference for it in the literature is the paper of E. Noether Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik $p$, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (1926) 28-35. In his book, Krull does not firmly attribute the result to Noether, but says that it is in the above paper that she makes its most important application. It seems like Noether herself never claimed any original priority, rather saying in a passage that Hilbert was aware of the result.
Here are some additions for the sake of further accuracy.
The usual statement of the normalization lemma-in this book as well as in most texts-solely concerns the existence of a polynomial ring over which a finitely generated $k$-algebra $R$ is integral. This is fine, however, Noether’s main worry was about a sort of converse to this statement, namely: let $K \mid k$ be a finitely generated field extension and let $S \subset K$ be an arbitrary $k$-subalgebra. If $S$ is integral over a finitely generated $k$-subalgebra $R \subset S$, then $S$ is itself finitely generated over $k$.
交换代数代写
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如果要求人们选择一个在非交换理论中不能直接获得的交换代数最基本的方面，那么分数环的概念肯定首先站得住脚。该理论的特殊情兄在交换代数和代数几何中都根 深蒂固–一例如在素理想上的局部化一一以至于它成为交换理论的标志。笔者的峝觉是，这个话题应该层快介绍。这里，重点是关于任意乘法闭集的环的理想与其分数 坏乙间的关系。饱和和象征权力的出现是整个理论的重要工具。
W. Krull 对分数环进行了广泛研究，他将这个相法归功于 H. Grell 63, Section6]. 总的来说，两者都徦设乘法闭集的元素 $\mathfrak{S}$ 是非零除数
“regular”intheterminologyof Grell, largelydisseminatednowadays. Grell 的论文处理了环扩展下理梘的扩展和收缩，并且分数坏的情况在论文中得到了充分的 处理。Krull 将主要考虑以下情况 $\mathfrak{S} \mathrm{~ 是 在 环 本 身 是 域 的 情 呪 下 素 理 想 的 互 补 集 。 因 此 ， 对 于 素 理 相 的 “ 符 昊 撔 ” 的 定 义 ~ 䂬 中 㚧 展 㺶}$ 不是分数环中扩展理相的逆像。分数环的一般情况似乎是后来的习惯。
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|PRÜFER AND THE DETERMINANTAL TRICK
命题证明 $2.2 .1$ 传统上被称为 “决定性技巧”。在这种情况下，它似乎很可能首先出现在 H. Prüfer 的开创性论文中 $[125, p .14]$. 然而，那时还没有任意模块的概念。那么， 作者是如何逃脱的呢? 解释是他只考虑了以下情呪 $R$ 是一个域并且 $S$ 它的分数域，因此是有限生成的 $R$ – 上述证明中考虑的模块确实是分数理相 asonecallstodayPrüfer 以Dedekind 早先在 $R=\mathbb{Z}$ 和 $S=\mathbb{Q}$. 他用同样的想法证明了一个理想的积分闭包 $I \subset R \$ R \$$ adomain 在分数领域 $K$ 的 $R \mathrm{~ 是 一 个 与 他 之 前 以 更 复 杂 的 方 式 引 笅 的 概 念 。 的 另 一 个 ~ 微 妙 之 仆 在 于 ， 他 ⿰}$ 概念等效的溉心。铂妙之处在于，他棺积分闭包作为分数理想 $K \mathrm{~ 地 在 人 们 把 已 ⿱}$ 可能考虑到一种更有效的方法，Prüfer给出了另一个结果证明，提出了一个不同的矩阵，可能对给定数据更内在。这可能是一个很好的机会，特别是对于学生来说，看 看这个其他矩阵设想了一种计算效率更高的算法。
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 写|NOETHER AND KRULL
不完全清楚是谁首先引入了与素理相及其链相关的数值不变量。一些想法得到了 E. Noether 的支持 [117, Section4]. 总的来说，Noether 和Krull 似乎都在域上有限㲂型 的积分域的情况下处理素数链，而在他的书第二版的补充中，Krull引入了维度和高度的概念 “Dimensionsdefeht”对于本地环。
归一化引理背后有一些模㩽的历史。文献中对它的通常参考是 E. Noether 的论文特征的有限线性群的不变量的有限性定理 $p$, 哥廷根科学学会的新闻,192628-35。在他的 书中，克鲁尔并没有将这个结果肯定地归功于诺特，而是说她在上述论文中做出了最重要的应用。似平诺特本人从末声称任何原始优先级，而是在一段话中说希尔伯特 知道结果
为了进一步的准确性，这里有一些补充。
归一化引理的通常陈述一一在本书和大多数文本中一一只涉及多项式环的存在，在该多项式抔上，一个有限生成 $k$-代数 $R$ 是积分。这即好，然而，Noether 的主要担心是
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
